文档介绍：晶体中电子的能带理论
晶体中电子的能带理论
1. 价电子的共有化模型
设想物体由大量相同原子组成。这些原子在空间的排列与实际晶体排列相
同,但原子间距很大,使每一原子可看成自由原子,这时孤立原子中的电子组态
及相应能级都是相同的,成为简并能级。
简化模型

现设想原子间距按一定比例逐步减少,使整个原子体系过渡为实际晶体。每
一原子中电子特别是外层电子(价电子)除受本身原子的势场作用外,还受到相
邻原子的势场作用。其结果这些电子不再局限于某一原子而可以从一个原子转移
到相邻的原子中去,可以在整个晶体中运动,这就是所谓价电子的共有化。

布洛赫()定理:
周期势场中运动的电子其势能函数应满足周期性条件:
U(x)=U(x+nl)
其中:l 为晶格常数(相邻格点的间距)n为任意整数电子满足定态薛定谔
方程为:
布洛赫证明:定态波函数一定具有下列特征:

布洛赫定理说在周期场中运动的电子波函数Φ(x)为自由电子波函数与具有
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晶体中电子的能带理论
晶体结构周期的函数 u(x)的乘积,具有这种形式的波函数称为布洛赫函数或称为
布洛赫波。
克龙尼克—潘尼模型(Kronig-Penney Model)
考虑一粒子处在一维周期性方势阱中的运动

在 0<x<l 区域势函数为 l=b1+b2
在势阱内: 其中则
在势垒内: 其中则
由布洛赫定理:
且有: 再结合波函数的单值有限连续可得:

由于-1<coskl<1 对等式左侧的 k1k2(或 E)附加了限制。
令:
超越方程为:f(E)=coskl K的变化使 E 变化,有的 E 可能使| f(E)|>1 粒子不
可能取这样的能量——禁带。
特例:对自由电子:k1=k2=k 则: 根据以上讨论,显然有在金属中
要量子化。

2. 固体能带
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晶体中电子的能带理论
在晶体中,原来的简并能级即自由原子中的能级分裂为许多和原来能级很接
近的能级,形成能带。
理论计算表明,原先自由原子中电子的 s 能级分裂为和原来能级很接近 N 个
能级,形成一个能带,称为 s 能带。其中 N 为组成晶体的原子数。
例:N=6 (晶体由 6 个原子组成)

结论:
①分裂的新能级在一定能量范围内,一般不超过 102eV 数量级,而晶体原
子数目 N 极大。所以分裂而成的新能级形成一个连续分布的能量带,称
能带,也称容许带。
②在相邻的容许带之间可能出现不容许能级存在的能隙,称为禁带。
③自由原子中电子能级越高,对应能带越宽。
④ P 能级由于是 3 度简并,要分裂为 3N 个新能级,形成一个能带,称为 p
能带。
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晶体中电子的能带理论

实例
钠晶体(3s 电子是钠原子的价电子) 金刚石能带结构
2s,2p 电子是
碳原子的四个
价电子,禁带
宽度。混
合能带:上下
两能带,每个
能带包含 2N
个能级。

导体、绝缘体和半导体
,也服从泡利不相容原理