文档介绍：何国威、白以龙
中国科学院力学研究所，非线性力学国家重点实验室
多尺度力学是当代科学技术发展的需求和前沿。在生物科学，材料科学，化学科学和流体力学中，许多重要问题的本质都表现为多尺度，它们涉及从分子尺度到连续介质尺度上不同物理机制的耦合和关联。例如，在生物和化学科学里，在分子尺度上的不同性态产生了生物体尺度上的复杂现象；在固体破坏中，不同尺度的微损伤相互作用产生更大尺度上的裂纹导致材料破坏；在流体力学中，不同时空尺度的涡相互作用构成复杂的流动图案。这些问题的共同特点是不同尺度上物理机制的耦合和关联。只考虑单个尺度上某个物理机制，不可能描述整个系统的复杂现象。因此，多尺度力学的核心问题是多过程耦合和跨尺度关联。
多尺度力学是传统的针对多尺度问题研究的发展，但有着本质的不同。它们都研究不
能通过解耦进行求解的多尺度耦合问题。但是，传统的多尺度问题具有相似性或弱耦合，即：
不同尺度上的物理过程具有相似性，因此我们可以求相似解；或者，不同尺度上的物理过程
具有弱耦合，因此我们可以采用平均法求解。然而，多尺度力学的研究对象具有多样性和强
耦合，即：不同尺度上的物理过程既不具有相似性，耦合也不再是弱的了。因此，传统的相
似解和平均法对多尺度力学的问题都不适用。
动力系统理论和统计力学为多尺度现象的研究提供了基本方法。在一个给定尺度上的物理过程可以用动力学方程描述，而动力学方程的建立主要依赖于经典力学和量子力学。问题的关键在于不同尺度上物理过程的相互耦合。如果可以忽略耦合，单个尺度上的物理过程完全可以由经典力学或量子力学描述，剩下的就是类似于解方程那样的认识过程，原则上并不是什么困难的事情。在平衡态统计物理里，不同尺度之间物理过程耦合的基本假设是基于等概率原理的统计平均。但是，大多数多尺度问题涉及统计力学中非平衡态的非线性演化过程，不同的尺度之间存在强耦合或敏感耦合，不能简单地采用绝热近似、统计平均以及微扰等方法处理，而必须将不同尺度耦合求解。特别是存在敏感耦合的情形，小尺度上的某些无序性细节在非线性演化过程中可能被强烈地放大，变成大尺度上的显著效应。统计力学为处理这类问题提供了一个基本岀发点。一个直接的方法是从第一原理岀发，利用分子动力学，计算分子尺度上的所有细节，然后求得连续介质尺度上的物理性质。但是，由于现有计算机的限制，从第一原理岀发的直接法并不现实。一个比较现实的方法是寻找中间尺度进行过渡, 它包括基于区域分解的准连续方法和基于粗粒化的粒子动力学法。这些构造模型的方法在不同的问题上都取得了一定程度的成功，但是，它们都不具有普适性。最新的发展是建立在齐次化方法上的非均匀齐次法，它试图给岀解决跨尺度关联问题的一般框架。
现代力学中两个典型的多尺度问题是流体湍流和固体破坏，它们既有共同点，但又有
所区别：流体湍流表现为不同尺度上多个物理过程的耦合，它没有尺度分离；固体破坏表现
为不同尺度上物理机制的跨尺度关联，它具有尺度分离。现详细讨论如下：
(1)流体湍流：
在流体湍流里，不同尺度上的涡相互作用构成了复杂的流动图案，它们具有不同的物理机制而又相互耦合。在上个世纪，针对不同尺度上物理过程相似的问题，流体力学家发展了求相似解的方法；针对不同尺度上物理过程耦合较弱的问题，流体力学家发展了小参数摄