文档介绍：《高中数学解题思维与思想》(精美word版-共140页)
D
通性的极大的障碍，必须加以克服。
综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。
二、思维训练实例
观察能力的训练
虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。
例1 已知都是实数，求证：
x
y
O
图1－2－1
思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。
证明 不妨设如图1－2－1所示，
则
在中，由三角形三边之间的关系知：
当且仅当O在AB上时，等号成立。
因此，
思维障碍 很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这些方法证明很繁。学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似的原因，是对这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此，平时应多注意数学公式、定理的运用练习。
已知，试求的最大值。
解 由 得
又
当时，有最大值，最大值为
思路分析 要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。
思维障碍 大部分学生的作法如下：
由 得
当时，取最大值，最大值为
这种解法由于忽略了这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，
又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。
有些问题的观察要从相应的图像着手。
已知二次函数满足关系
，试比较与的大小。
x
y
O
2
图1－2－2
思路分析 由已知条件可知，在与左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线对称，又由
已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致
图像简捷地解出此题。
解 （如图1－2－2）由，
知是以直线为对称轴，开口向上的抛物线
它与距离越近的点，函数值越小。
思维障碍 有些同学对比较与的大小，只想到求出它们的值。而此题函数
的表达式不确定无法代值，所以无法比较。出现这种情况的原因，是没有充分挖掘已知条件的含义，因而思维受到阻碍，做题时要全面看问题，对每一个已知条件都要仔细推敲，找出它的真正含义，这样才能顺利解题。提高思维的变通性。
联想能力的训练
在中，若为钝角，则的值
(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能确定
思路分析 此题是在中确定三角函数的值。因此，联想到三角函数正切的两角和公式可得下面解法。
解 为钝角，.在中
且
故应选择（B）
思维障碍 有的学生可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函数的基本公式掌握得不牢固，不能准确把握公式的特征，因而不能很快联想到运用基本公式。
若
思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。
证明 当时，等式
可看作是关于的一元二次方程有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有：
即
若，由已知条件易得 即,显然也有.
已知均为正实数,满足关系式,又为不小于的自然数，求证:
思路分析 由条件联想到勾股定理,可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。
证明 设所对的角分别为、、则是直角，为锐角，于是
且
当时，有
于是有
即
从而就有
思维阻碍 由于这是一个关于自然数的命题，一些学生都会想到用数学归纳法来证明，难以进行数与形的联想，原因是平时不注意代数与几何之间的联系，单纯学代数，学几何，因而不能将题目条件的数字或式子特征与直观图形联想起来。
问题转化的训练
我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的。在解题时，不仅要先观察具体特征，联想有关知识，而且