文档介绍：第2章 误差的基本性质与处理
本章分别详细阐述随机误差、系统误差、粗大误差三类误差的来源、性质、数据处理的方法以及消除或减小的措施。特别是在随机误差的数据处理中,分别掌握等精度测量和不等精度测量的不同数据处理方法。通过学习本章内容,使读者能够根据不同性质的误差选取正确的数据处理方法并进行合理的数据处理。
教学目标
三大类误差的特征、性质以及减小各类误差对测量精度影响的措施
掌握等精度测量的数据处理方法
掌握不等精度测量的数据处理方法
重点与难点
当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时,得到一系列不同的测量值(常称为测量列),每个测量值都含有误差,这些误差的出现没有确定的规律,即前一个数据出现后,不能预测下一个数据的大小和方向。但就误差整体而言,却明显具有某种统计规律。
随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构成,主要有以下几方面:
①测量装置方面的因素
②环境方面的因素
③人为方面的因素
零部件变形及其不稳定性,信号处理电路的随机噪声等。
温度、湿度、气压的变化,光照强度、电磁场变化等。
瞄准、读数不稳定,人为操作不当等。
第一节随机误差
一、随机误差产生的原因
随机误差的分布可以是正态分布,也有在非正态分布,而多数随机误差都服从正态分布。我们首先来分析服从正态分布的随机误差的特性。
设被测量值的真值为,一系列测得值为,则测量列的随机误差可表示为:
(2-1)
式中。
正态分布的分布密度与分布函数为
(2-2)
(2-3)
式中:σ——标准差(或均方根误差)
e——自然对数的底,……。
它的数学期望为(2-4)
它的方差为: (2-5)
第一节随机误差
二、正态分布
其平均误差为: (2-6)
此外由可解得或然误差为:
(2-7)
由式(2-2)可以推导出:
①有, 可推知分布具有对称性,即绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等,这称为误差的对称性;
②当δ=0时有,即,可推知单峰性,即绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多,这称为误差的单峰性;
③虽然函数的存在区间是[-∞,+∞],但实际上,随机误差δ只是出现在一个有限的区间内,即[-kσ,+kσ],称为误差的有界性;
④随着测量次数的增加,随机误差的算术平均值趋向于零: 这称为误差的补偿性。
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从正态分布的随机误差都具有的四个特征:对称性、单峰性、有界性、抵偿性。由于多数随机误差都服从正态分布,因此正态分布在误差理论中占有十分重要的地位。
第一节随机误差
图2-1为正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。σ值为曲线上拐点A的横坐标,θ值为曲线右半部面积重心B的横坐标,ρ值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。
第一节随机误差
对某量进行一系列等精度测量时,由于存在随机误差,因此其获得的测量值不完全相同,此时应以算术平均值作为最后的测量结果。
(一)算术平均值的意义
设为n次测量所得的值,则算术平均值为:
(2-8)
第一节随机误差
三、算术平均值
下面来证明当测量次数无限增加时,算术平均值必然趋近于真值Lo。
即
由前面正态分布随机误差的第四特征可知,因此
由此我们可得出结论:如果能够对某一量进行无限多次测量,就可得到不受随机误差影响的测量值,或其影响很小,可以忽略。这就是当测量次数无限增大时,算术平均值(数学上称之为最大或然值)被认为是最接近于真值的理论依据。但由于实际上都是有限次测量,因此,我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。
第一节随机误差
一般情况下,被测量的真值为未知,不可能按式(2-1)求得随机误差,这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为残余误差,简称残差:
(2-9)
此时可用更简便算法来求算术平均值。任选一个接近所有测得值的数作为参考值,计算每个测得值与的差值:
(2-10)
式中的为简单数值,很容易计算,因此按(2-10)求算术平均值比较简单。
若测量次数有限,由参数估计知,算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量,即满足无偏性、有效性、一致性,并满足最小二乘法原理;在正态分布条件下满足最大似然原理。
第一节随机误差