文档介绍：: .
一、相关概念
：
f（ x 0）= lim y = lim f （x。' x） f （ x o ）。
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、卜I亠「、、卜:
注意:
(1)函数f ( x)在点x 0处可导，是指 x > 0时，有极限。如果 —y不存在极限，
就说函数在点 x 0处不可导，或说无导数。
(2) x是自变量 x在x o处的改变量， 一 0时，而 y是函数值的改变量，可以是零。
2 .导数的几何意义
函数y=f ( x)在点x o处的导数的几何意义是曲线 y=f ( x)在点p (x o , f ( x o ))处的切
线的斜率。也就是说，曲线 y=f ( x)在点 p ( x o , f ( x o ))处的切线的斜率是 f '( x o )
相应地，切线方程为 y — y o =f / ( x o ) ( x — x o )。
3. 导数的物理意义
若物体运动的规律是 s=s ( t )，那么该物体在时刻 t的瞬间速度 v= s ( t )。
若物体运动的速度随时间的变化的规律是 v=v ( t )，则该物体在时刻 t的加速度 a=v'( t )
：、导数的运算
1 .基本函数的导数公式 ：
① C 了皂o； (C为常数)
② Xn 二 nxni；
③ (sin x) - cos x ；
④ (cos x) - -sin x;
⑤ (ex厂ex;
⑥ (a x)- ax In a ;
1
⑦ ln x ——；
x
『 / 1 .
⑧ I Oga X 一 — log a e.
x
2 .导数的运算法则
法则1 :两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和 (或差),
即：(-) -.
-UV 一 U -V
法则2:两个函数的积的导数 ，等于第一个函数的导数乘以第二个函数 ，加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即： ()'' '.
uv — U V UV
法则3 :两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，
再除以分母的平方：
u _ u' v uv' （ V 一一 0）。
V V2
形如y=f (x )
1的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:
分解—— > 求导—— > 回代。
法则：y /| x = y/|u u • |x 或者 f ［ ( x)］ - f ( - )* ( x).
三、导数的应用
(1) 设函数y -f (x)在某个区间(a, b)可导，如果f' (x) 0，贝y f (x)在此区间上为
增函数；如果 f ' ( x) 0，贝U f ( x)在此区间上为减函数。
(2) 如果在某区间内恒有f'( x) 0，贝U f ( x)为常数。
2 .极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为0 ;曲线在极大值点左侧切线的斜率为
正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3 .最值：
在区间［a , b］上连续的函数 f ( x)在［a , b］上必有最大值与最小值。但在开区间( a, b)内
连续函数f ( x)不一定有最大值，例如f ( x) x3, x (們)-。
(1 )函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中
的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。
(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极 值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区 间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可 能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。
四、定积分
设函数 f(x)在区间［a , b］上连续，用分点 a = x0<x1< ? <xi — 1<xi< ? xn = b把区间［a , b］
等分成n个小区间，在每个小区间 ［xi — 1, xi］上取任一点Ei ( i = 1, 2, ? n)作和式 In
i= 1
(Ei) △x (其中△ x为小区间长度)，把门-8即47 时，和式
In的极限叫做函
n
数f(x)在区间［a , b］上的定积分，记作：
这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间
f ( x) dx
b
A
f
a f (x)dx
［a，b］叫做积分区间，
函数 f(x)叫做被