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第1章随机事件及其概率
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当 P(AB) = 0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)
减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当 B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当 A=Q 时，P( B)=1- P(B)
乘法公式
乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A)
更一般地，对事件 A, A,…A,若P(AA…An-1)> 0,则有
P(A1A2 …An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2)...... P(An| A1A2 …An 1)
独立性
① 两个事件的独立性
设事件A、B满足P(AB) P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P(A) 0，则有
P(B|A) P(AB) P(A)P(B) P(B)
P(A) P(A)
② 多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C )
全概公式
P(A) P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A|B2) P(Bn)P(A| Bn)。
贝叶斯公式
……、 P(Bi)P(A/ Bi)
P(Bi/A) n ' 八 ,i=1 , 2,…n。
P(Bj)P(A/Bj)
j 1
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi) , (i 1 , 2，…，n),通常叫先验概率。P(Bi /A) , (i 1 , 2，…，
n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的概率规律，并作出了
“由果朔因”的推断。
第二章随机变量及其分布
连续型随机变量的分布密度
设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数 f(x)，对任意实数x，有
x
F(x) f (x)dx , 则称x为连续型随机变量。f (x)称为X的概率密度
函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面性质：f(x) 0。 ()
离散与连续型随机变量的关系
P(X x) P(x X x dx) f (x)dx。积分元f (x)dx在连续型随机变量理论
中所起的作用与P(X xk) pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
0-1 分布 P(X=1)=P，P(X=O)=q
设X为随机变量，x是任意实数，则函数 F(x) P(X x)称为随机变量 X的分布函数,
本质上是一个累积函数。P在刃重贝努里试式验中(b)设事件a) A可发生到概率落入区间事件,bA发生
率。分布函数F(x)表示随机变量落入机变量，设为a, %内的概率可能取值为°，1,2，，n。
1. ° F(x) 1, P(X k) ； p°n(k)F(x)是单q调不减的函数，即 xi x其时，有中
(5)八
大分布)I二项分布 3。 F( 1 )P,°limPF(1G)k °°,1,2,F(,n ,)』m F(x) 1 ； 4。
F(x °) F (x)，即F (x则是右连续机变量5X服从参x数为Fnx, F 的二(项。分』于离散记为
X ~ B(n, p)。当 n 1 时，P(X k) xpkq1 k , k °.1，这
随机变量，F(x) pk ；对于连续型随机变量，。F (x) f (x)dx
xk x 就是(°-1 )分布，所以(°-1 )分布是二项分布的特例。
设随机变量X的分布律为
泊松分布
P(X
则称随机变量
者 P()。
k
k)亍，
I X服从参数为
°, k °,1,2 ,
的泊松分布，记为 X ~ ()或
超几何分布
P(X k)
C k 乍 c n k k
CM ?CN M
°,1,2 ,l
cN 'i
min(M , n)
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为 H(n,N,M)。
几何分布
P(X k)
qk1p,k 1,2,3,
，其中 p>°, q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为 G(p)。
设随机变量
X的值只落在［a ,
b］内，其密度函数f(X)在［a , b］
上为常数一
1
1 ，即
b
a
均匀分布
当a < X1<X2W b时，X洛在区间
1
a< x< b
(为，x2)内的概率为
f (x) b
J
a 其他
x2