文档介绍：山东师大数学分析试题
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第七章实数的完备性
§1 关于实数集完备性的根本定理
例1 设函数定义在上, ,极限在上有界.
分析函数在每点处由函数极限的局部有界性,,在其中有界,,本例可应用致密性定理,通过反证法来证明.
证因为在上每点存在极限,由函数极限的局部有界性, ,与,
成为的一个开覆盖;由有限覆盖定理,存在的有限开覆盖
假设取,那么因覆盖了,对中每一,它必属于中某一领域,于是
注1 上面的证明与闭区间上连续函数的有界性的证明有相似之处(见后面).
注2 有限覆盖定理的作用在于当能被有限个领域覆盖时,可以在有限个中求得一个最大的.
例2 设是有界发散数旬,那么存在的两个子列趋向于不同的极限.
分析由致密性定理, ,为了得到另一个收敛子列,必须利用数列本身不收敛于的条件.
证因为是有界数列,由致密性定理,存在收敛子列记
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由于不收敛于,因此在的某一领域之外必有中的无穷多项,对这无穷多项再次应用致密性定理,在其中又存在另一收敛子列记
.
显然,即.
例3 设为收敛数列,证明的上、下确界中至少有一个属于
证证法1 ,那么结论是显然的;假设不恒为常数,不妨设对,,当时,而领域外必有中的有限项(至少).在这有限项中必存在的最大项或最小项,于是的上、下确界中至少有一个属于.
证法2 因为为收敛数列,所以为非空有界集,由确界原理,,那么为常数列,,且,那么存在两个子列使使
，，
即存在两个子列收敛于不同的极限，这与为收敛数列相矛盾。由此可见的上、下确界中至少有一个属于.
例4 试利用区间套定理证明确界原理.
证 ,故有,不妨设不是S的上界(否那么为S的最大元,即为S的上确界),,其中必有一子区间,其右端点为S的上界,但左端点不是S的上界,记之为,再将二等分,其中必有一子区间,其右端点是S的上界,而左端不是S的上界,,得到一区间套,其中恒为S的上界, 恒非S的上界,且
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由区间套定理,.现证即为因为,令取极限,得,即为S的上界.(2),因为,故;由于不是S的上界,因此是S的最小上界,即.
同理可证有下界的非空数集必有下确界.
注此题证明中的关键是构造适宜的区间套,使其公共点正好是数集S的上确界,为此使为S的上界,.
例5 试用有限覆盖定理证明区间套定理.
证设为区间套,要证,:倘假设都不是的公共点,于是,使得,因而,.设
,
, ,,,使
说明上面是另一种应用有限覆盖定理的方法,即用反证法构造开覆盖,这种分析技巧值得学****br/>§2 闭区间上连续函数性质的证明
例1 假设函数在上无界,那么必存在上某点,使得在该点的任意领域内无界.
证用反证法,假设,存在,使得在中有界,那么令
,
它成为的一个无限开覆盖由有限覆盖定理,存在
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