文档介绍：第三章
第三节
协方差和相关系数 (12)
二维随机变量( X ,Y )的两个分量 X 与Y 的数学期望和方
差 E(X) , E(Y) , D(X) , D(Y) 分别刻画了X 与Y 的均值及对
( X ,Y ) 作为一个整体,考察它的两
个分量 X 与Y 之间的关系, 我们还必须引入一个新的概念,
这就是协方差.
定义1. 称数值 EXEXYEY () ()为二维随机变量
( X , Y ) 的协方差, 记为Cov( X ,Y ) .
即 Cov(XY , ) E X EX ( ) Y EY ( ) . (1)
Cov(X ,Y )
又称 (2) 为 X 与Y 的相关系数.
XY DXDY()()
例1. 试证明:
(1) Cov(X ,YEXYEXEY ) ( ) ( ) ( ) (3)
(2) DX()()()2Cov(,) Y DX DY XY (4)
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
证: (1) 由协方差的定义式:
CXYEXEXYEYov( , ) ( ) ( ) .
E(()()()())XY XEY YEX EXEY
E(XY ) EXEY ()() EYEX ()() EXEY ()()
Cov(XY , ) EXY ( ) EXEY ( ) ( ).(常用此式计算协方差)
(2) DX( Y ) E [( X Y )22 ] [ EX ( Y )]
E(XY22 2)()()2()() XYEXEYEXEY 2 2m
EX()()2()()()2()()22 EY EXY E 2 X E 2 Ym EXEY
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
EX()()2()()()2()()22 EY EXY E 2 X E 2 Ym EXEY
EX(22 ) E () X EY ( 22 ) E ()2[( Y EXY ) EXEY ()()]
DX()()()2Cov(,). Y DX DY XY 证毕.
特别地, 当X = Y 时, Cov(X ,XDX ) ( ).
定义2. 若 Cov(X ,Y ) 0, 则称 X 与Y 不相关.
例2. 若 X 与Y 相互独立, 则有 Cov(X ,Y ) 0.
证: 因为 X 与Y 相互独立, 则有 E()XY E ()(). X E Y
由(3)式知 Cov(X ,Y ) 0. 证毕.
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
例2说明:当X 与Y 相互独立时, X 与Y 必不相关.
但反过来, 当X 与Y 不相关时, X 与 Y 未必相互独立.
例3. 设随机变量 X 的概率密度函数为:
1
,1 x 1
fx 2
0, 其他
又 YX 2. 试证明 X 与Y 既不相关, 也不相互独立.
证:由于 YX 2 , Y 的取值完全由 X 的值所决定,
所以Y 与X 不相互独立.
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
3 3 1 1
又由于 E()XY E () X x fxdx() x3 dx 0.
1 2
1 1
EX() xfxdx () x dx 0.
1 2
所以 Cov(X ,Y