文档介绍：四、二重积分的换元法
第二节
二、利用直角坐标计算二重积分
三、利用极坐标计算二重积分
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二重积分的计算法
第六章
一、二重积分的几何意义
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解法: 由二重积分的定义:
一、二重积分的几何意义
曲顶柱体的体积
给定曲顶柱体:
底： xoy 面上的闭区域 D
顶: 连续曲面
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面
求其体积.
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
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1)“大化小”
用任意曲线网分D为 n 个区域
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个
2)“常代变”
在每个
3)“近似和”
则
中任取一点
小曲顶柱体
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4)“取极限”
令
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利用定积分曲顶柱体体积的计算：累次积分
设曲顶柱的底为
任取
平面
故曲顶柱体体积为
截面积为
截柱体的
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同样, 曲顶柱的底为
则其体积可按如下两次积分计算
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二、利用直角坐标计算二重积分
且在D上连续时,
由曲顶柱体体积的计算可知,
若D为 X – 型区域
则
若D为Y –型区域
则
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当被积函数
均非负
在D上变号时,
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
由于
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说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
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例1. 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X–型区域, 则
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
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