文档介绍：第二章
已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入相应
（1）y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t), y(0-)=1, y’(0-)=-1
解：微分方程对应的特征方程为 λ2+5λ+6=0
其特征根为λ1=-2，λ2=-3,系统的零输入 响应可写为
yzi (t)=C1e-2t+C2e-3t
又yzi (0-)=y(0-)=1, yzi'(0-)=y'(0-)=-1,则有
1=C1+C2
-1=-2 C1-3C2
由以上两式联立，解得 C1 =2，C2=-1
即系统的零输入响应为yzi(t)=2e-2t -e-3t,t≥0
(2)y''t+2y't+5yt=ft, y(0-)=2,y'0-=-2
微分方程的特征方程为 λ2 +2λ+5=0
其特征根 λ12=-1±j2, 系统的零输入响应可写为
yzit=C1e-tcos2t+C2e-tsin2t
又yzi0-= y(0-)=2, yzi'(0-)= y'(0-)=-2,则有
yzi(0-)=C1=2
yzi'0-=C1+2C2=-2
以上两式联立，解得C1=2，C2=0
因此系统的零输入响应为yzit=2e-t cos2t，t≥0
(3) y''t+2y't+yt=ft ,y(0-)=1,y'0-=1
微分方程对应的特征方程为
λ2 +2λ+1=0
其特征根为λ1,2=-1，系统的零输入响应可写为
yzit=(C1+C2t)e-t
又yzi(0-)= y(0-)=1, yzi'(0-)= y'0-=1,则有
yzi(0-)= C1=1 ，yzi'(0-)=- C1+C2=1
以上两式联立，解得
C1=1，C2=2
因此系统的零输入响应为
yzit=1+2te-t, t≥0
(4) y''t+yt=ft ,y(0-)=2,y'0-=0
微分方程对应的特征方程为
λ2 +1=0
其特征根为λ1,2=±j. 系统的零输入响应可写为
yzit=C1 cost+C2sint
又yzi(0-)= y(0-)=2, yzi'(0-)= y'0-=0,则有
yzi(0-)= C1=2 yzi'(0-)=C2=0
因此系统的零输入响应为
yzit=2cost,t≥0
(5)y'''t+4y''t+5y't+2yt=ft,y0-=0,y'0-=1,
y''0-=-1
微分方程对应的特征方程为
λ3+4λ2 +5λ+2=0
其特征根为λ1,2=-1,λ3=-2, 系统的零输入响应可写为
yzit=(C1t+C2) e-t+C3e-2t
又yzi(0-)= y(0-)=0, yzi'(0-)= y'0-=1,yzi''(0-)=y''(0-)=-1,
则有
yzi(0-)= C2+C3=0
yzi'(0-) =C1-C2-2C3=1
yzi''(0-)=-2C1+C2+4C3=-1
以上三式联立，解得
C1=2，C2=-1，C3=1
因此系统的零输入响应为
yzit=2t-1e-t+e-2t,t≥0
已知描述系统的微分方程和初始态度如下，试求其0+值y0+
和y'(0+)
(1) y''t+3y't+2yt=ft ,y(0-)=1,y'0-=1,ft=ε(t)
输入ft=εt，则方程右端不含冲激函数项，则f(t)及其导数在t=0处均不发生跃变，即
y0+=y0-=1, y'0+=y'0-=1
(2) y''t+6y't+8yt=f''t ,y(0-)=1,y'0-=1,
ft=δ(t)
将ft=δ(t)代入微分方程，有
y''t+6y't+8yt=δ''(t)
由于方程右端含有δ''(t)项，则y''t中含有δ''(t)，设
y''t=aδ''t+bδ'(t)+ cδt+r1t
其中r1t不含δt及其导数项。
对式两边从-∞到t积分，得
y't=aδ'(t)+b δt+r2t
其中r2t=c εt+r1(-1)(t)，而r1(-1)(t)=-∞tr1(τ)dτ,故r2t 不含δt及其导数项。
同理，对式两边从-∞到t积分，得
yt=a δt+r3t
其中r3t=b εt+r2-1t,不含δt及其导数项。
将式代入 式，整理得
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