文档介绍：数值分析试题集
（试卷一）
一（10分）已知X* = , x； =，判断x； +x；及驾-x；
有几位有效数字。
二（10分）由下表求插值多项式
0
1
2
y
2
3
4
y
1
-1
三（15分）设/（x）e C4［a,b］, H （x）是满足下列条件的三次多项式
H（a） = f（a） ,H（b） = f（b） , H（c） = /（c） , H，（c） =「（c） （a<c<b ）
求/（x）-H（x）,并证明之。
2
四（15 分）计算 j -dx , E = 10 2 o
o 1 + x
五（15分）在［0, 2］上取气=0,七=1,》2 =2,用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代
数精度。
六（10分）证明改进的尢拉法的精度是2阶的。
七（10分）对模型y=A-y,A< 0,讨论改进的尢拉法的稳定性。
八（15分）求方程尸+4》2 一 7》—1 = 0在-，£ = 10一’°
（试卷二）
一 填空（4*2分）
1 ｛内（X）｝旗是区间［0, 1］上的权函数为Z?（x） = x2的最高项系数为1的正交多项式族，其中
°0（X）= l,贝叮入.°0（入）火=
0
,（X） 。
(2 1、
2 A ,则 || A || ，
P（A） 。
(a + 1 2)
3设人= ,当“满足条件---
时，A可作LU分解。
1-1时
4 设非线性方程 f(x) = C?—3尸+3x —l)(x +3) = 0,其根 x「=—3, x2* =-1,则求 的
近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是 。
'1 - a、
二(8 分)方程组 AX=b,其中 A= - 2 - , X,be R3
、_ a — 1 /
1试利用迭代收敛的充要条件求出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围，。取何值时雅可比迭代 收敛最快？
2选择一种便于计算的迭代收敛的充要条件，求出使高斯-塞德尔迭代法收敛的。的取值范围。
V’ = V)
三(9分)常微分方程初值问题7 /的单步法公式为i+2W(x“，y“)，求该
Jo = yM
公式的精度。
四(14分)设A为对称正定方程组
1求使迭代过程Xk+l=Xk +a-(b-A-Xk )收敛的数。的变化范围；
/ 2 -1 -1、
< 0、
-12 0
x2
=
1
"1 0 1,
疽3 ,
用此法解方程组
(取初值Xo=(l,l,l)「，小数点后保留4位，给出前6次迭代的数据表)。
(试卷三)
『11)
一 设人= ，求A的谱半径p(A),范数为1的条件数cond (A)! o
"一5 1
=-设/(x) = 3x2+5,x,. = z,(z = 0,1,2, •••),分别计算该函数的二、三阶差商
f 氏，S+1， ］，f \-Xn，》”+1，Xn+2 》”+3 ］。
三设向量 X =(X［ , X2 , %3)7 1若定5c|| x|| = I | + | 2x2| +1 x3| ,问它是不是一种向量范数？请说明理由。
2若定5c||x|| = |x1 + 3x2| + |x3|,问它又是不是一种向量范数？请说明理由。
'2 -1 -1、
四设人=-12 0 ，将矩阵分解为A = W，其中Z是对角线元素＞03 = 1,2,3)的
Jo"
下三角阵。
五 设有解方程12-3x + 2cosx = 0的迭代法x,
,2
g =4 + -cosx„
1证明：对任意x0 e (-00,00),均有limx"=x* (x*为方程的根)；
〃一＞8
2取吒=4,用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10一3,列出各次迭代值；
3此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。
六对于求积公式
"⑴办-|[2/(^)-/(|) + 2/(|)]
1求该求积公式的代数精度；
2证明它为插值型的求积公式。
(试卷四)
一填空题(每空5分，共25分)
1设精确值为x = ,若取近似值/= ,该近似值具有 位有
效数字。
设f(x) = 3x2 +5, xt = z(« = 0,l,2,---)，则三阶差商f[xn,xn+l,xn+2,xn+3] = 。
(\ 1)
A = ,贝ij p(A)= 。
、5 V
(a + \ 2) T
4设4= ,当。满足条件 时，必有分解式A=LlJ,其中L是对角线元
"。4J
素为正的下三角阵。
5求积