文档介绍：第五讲
I授课题目（章节）：
§ 5. 6用配方法化二次型成标准形
§
II教学目的与要求：
了解二次型的止定性；
掌握二次型正定性的判别法.
III教学重点与难点：
重点：二次型的正定性的概念； 难点：正定性的判别法.
IV讲授内容：
一、配方法化二次型成标准形
用止交变换化二次型成标准形，，还 可用拉格朗日配方法把二次型化成标准形.
例1化二次型/ = %,2 + 2x22 + 5x32 + 2x,x2 + 2X]X3 + 6x2x3成标准形，并求所用的变换 矩阵.
由于于中含有变量无的平方项，故把含X|的项归并起来，配方可得
f =(旺 +兀2 +兀3)2 ~ ~ 一 2兀2兀3 +2兀2? + 厶兀^ + 6%2%3
2 2 2
=(X] +兀？ +兀3 ) +兀2 + 4兀2兀3 + 4兀3
=(旺 + + Xj) ~ + (x9 + 2*3)-
就把于化成标准形f = yr2 + y^ 所用变换矩阵为
(1 -1 1]
C= 0 1 -2 , (|C| = 1^0).
、0 0 1 J
例2化二次型f = 2兀孔+ 2旺*3 — 6*2*3成标准形，并求所用的变换矩阵.
解 在于屮不含平方项，由于含有並兀乘积项，故令
代入可得 / = 2y/ -2y22 - 4y,y3 + 8y2y3.
再配方，得/ = 2(儿—儿尸一2(儿一2儿尸+ 6儿，
匕=z2+2z3
化=◎
可=儿—儿 z2 = y2 一2儿‘即 <
53 =儿
即有f = 2Z12 -2打+
、正定二次型
二次型的标准形不是唯一的，但标准形屮所含项数是确定的(即是二次型的秩).不仅 如此，在限定变换为实变换时，标准形屮止系数的个数是不变的(从而负系数的个数也不 变)，也就是有
定理1设有二次型f = xTAx ,它的秩为r ,有两个实的可逆变换x = Cy及x = Pz ,使
f = klyl~ + k2~ H— + kry~ （匕工0）,
y = 2]Z] + + …+ ArZr （入 M 0 ）,
则k\,k],…,k”中正数的个数与人‘人,…,2”中正数的个数相等.
这个定理称为惯性定理.
定义1设有实二次型f(x) = xrAx ,如果对任何x工0 ,都有f(x) > 0,贝U称f为正定二
次型，并称对称矩阵4是正定的；如果对任何XK0都有f(x)<0,贝IJ称于为负定二次型, 并称对称矩阵4是负定的.
定理2实二次型f = xtAx为止定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为止.
证明设可逆变换x = Cy使f(x) = f(Cy)= 工.
〉0（7 = 1,…"）.任给xmO,则y = C~'x^O,故f （.r）= DM〉o.
<0「则当y = e,时，f(Ces) = ks <0, f为止定相