文档介绍：第4部分:迭代-分形与艺术《数学实验》. P1 一、图形迭代什么是图形迭代例: 给定一条直线段 F 0, 将该直线三等分, 并将中间的一段用以该线段为边的等边三角形的另外两条边代替, 得到图形F 1. 然后, 再对图形F 1 中的每一小段都按上述方式修改以至无穷. .... 极限曲线F lim k F k 称为Koch曲线. 柯赫, 瑞典1870 1924 给定初始图形F 0, 依照某一规则R对图形反复作用: F k1RF k,k0,1, ... 得到图形序列 F 1,F 2, ... 其极限图形F lim k F k 构成“分形” Fractal. 第4部分:迭代-分形与艺术《数学实验》. P2 Koch 曲线试想: Koch 曲线的长度是多少? 第4部分:迭代-分形与艺术《数学实验》. P3 一、图形迭代 Koch 曲线的实现: rkoch a_List : Module tmp ,i, num Lengtha , Fori1,i num,ii1, tmp Join tmp,a i,a i 23a i1 3, a i a i1 2 a i 2 a i1 2, a i1 1 a i 1 Sqrt3 6, a i 3a i1 23,a i1 ; tmp link01 0,0,1,0; n5; Forj1,jn,j, Show Graphics Line Nest rkoch, link01,j, AspectRatio Sqrt3 6 第4部分:迭代-分形与艺术《数学实验》. P4 一、图形迭代 Koch 曲线的生成元曲线的修改规则 R是:将每一条直线段 F0 用一条折线 F1 替代, 称 F1 为该分形的生成元分形的维数设生成元由 n条线段构成,每段长度为原线段长度的 1/m ,则该分形的维数定义为: d Lnn Lnm Logm n, 即m dn 第4部分:迭代-分形与艺术《数学实验》. P5 一、图形迭代 Koch 曲线的维数 4 ln4 d= log3 ln3 ? ?想一想 : 分数维数有什么道理?分形维数大小反映了分形的什么特性? 第4部分:迭代-分形与艺术《数学实验》. P6 分形的维数 4 ln4 d= log3 lnm ? ?在欧氏空间中,人们****惯把空间看成三维的,平面或球面看成二维,而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广, 认为点是零维的,还可以引入高维空间,但通常人们****惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数,这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。 1919 年,数学家从测度的角度引入了维数概念,将维数从整数扩大到分数,从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。第4部分:迭代-分形与艺术《数学实验》. P7 分形的维数 4 ln4 d= log3 lnm ? ?维数和测量有着密切的关系,下面我们举例说明一下分维的概念。客观事物有它自己的特征长度,要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城,嫌太短;用尺来测量大肠杆菌,又嫌太长。如物理学中的湍流,湍流是自然界中普遍现象, 小至静室中缭绕的轻烟,巨至木星大气中的涡流,都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量,经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡,最后转化成分子尺度上的热运动,同时涉及大量不同尺度上的运动状态,就要借助“无标度性”解决问题,湍流中高漩涡区域,就需要用分形几何学。第4部分:迭代-分形与艺术《数学实验》. P8 分形的维数 4 ln4 d= log3 lnm ? ?对一条线段,如果我们用 0维的点来量它,其结果为无穷大,因为直线中包含无穷多个点;如果我们用一块平面来量它,其结果是 0,因为直线中不包含平面。那么,用怎样的尺度来量直线它才会得到有限值呢?看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值,所以直线的维数为1(大于 0、小于 2)。对 Koch 曲线来讲,其整体是一条无限长的线折叠而成,所以,用小直线段量,其结果是无穷大;而用平面量,其结果是 0(此曲线中不包含平面),那么只有找一个与 Koch 曲线的维数相同的尺子量它才会得到有限值,而这个维数显然大于 1、小于 2,那么只能是小数了,所以存在分维。经过计算 Koch 曲线的维数是 ……。第4部分:迭代-分形与艺术《数学实验》. P9 分形的维数 4 ln4 d= log3 ln3 ? ?一般地,如果某图形是由把原图缩小为 1/a 的相似的 b个图形所组成,即有: ad=b ,称为相似维数。 d可以是整数, 也可以是分数。例如:假设线段、正方形和立方体,它们的边长都是 1,将它们的边长二等分,即将原图的线段缩小为原来的 1/2 ,则线段、正方形、立方