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222双曲线的简单几何性质
学****目标：
1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对 a、b、c、
e的关系及其几何意义的理解。
2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。
【学****重点】双曲线的简单几何性质及其应用。
【学****难点】渐近线方程的导出。
知识回顾
1、双曲线的定义：
2、双曲线的标准方程：
3 、回想椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？
学****过程
一、双曲线的几何性质
（一）试一试
类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程
2 2 笃-每=1,（a 0,b 0），研究它的几何性质。
a b
2
理，以-y代y ,方程不变得双曲线关于
对称，以_'X
代X，且以-y代y，方程也不变，得双曲线关于
对称。
2 2
③顶点：即双曲线与对称轴的交点。在方程笃-与=1里，令y=o,得x= 得到
a b
双曲线的顶点坐标为 a（）A（）；我们把B1（）b2（）
也画在y轴上（如图）。线段分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分
别为。
④离心率：双曲线的离心率 e= ，范围为
思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征?
探究：在学****椭圆时，以原点为中心， 2a、2b为邻边的矩形，对于估计
椭圆的形武 =1,
a b
仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形（板书图形），那么双曲线和这个矩形有什么关系？
当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？
㈤双曲线特有性质-----
2 2
双曲线二亠 =1的渐近线方程为，双曲线各支向外延伸时，与它的渐
a b
近线 , 。
（二）想一想
X y2 x y2
1、根据上述五个性质，画出椭圆 1与双曲线 1的图象。
16 9 16 9
探究案:
1）整合前面的探究结果，类比出双曲线焦点在 y轴时的几何性质，完成下表。
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标准方程
范围
对称轴
对称中心
实虚轴
顶点
渐近线
离心率
a,b,c 关系
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2）等轴双曲线定义及性质是什么?
3）探究共渐近线的双曲线系？
二、例题讲解
（一）已知双曲线方程研究几何性质
例1求双曲线 9y2 —16x2 =144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、
渐进线方程
练****1） : x2 -8y2 =32的实轴长虚轴长顶点坐标
焦点坐标离心率
2 2
（2）x - y 二-4的实轴长为虚轴长顶点坐标