文档介绍：数论综合廖老师 1 数论综合(一) 知识要点一、短除模型: 如果 m 为A 、B 的最大公约数,根据模型知道: (1 )且 A ma ?, B mb ?(2 )那么 a b 、互质(3 )所以 A 、B 的最大公约数为 m , 最小公倍数为 mab (4 )最大公约数与最小公倍数的成绩为 A 与B 的乘积二、求约数个数与所有约数的和 ,将每个质因数的指数( 次数)加1 后所得的乘积。如:1400 严格分解质因数之后为 3 2 2 5 7 ? ?,所以它的约数有(3+1) × (2+1) × (1+1)=4 ×3× 2=24 个。( 包括 1 和 1400 本身), 将它的每个质因数依次从 1 加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有约数的和。如: 3 3 21000 2 3 5 7 ? ???,所以 21000 所有约数的和为 2 3 2 3 (1 2 2 2 )(1 3)(1 5 5 5 )(1 7) 74880 ? ????????三、常用的 100 以内的质数: 2、3、5、7、 11、 13、 17、 19、 23、 29、 31、 37、 41、 43、 47、 53、 59、 61、 67、 71、 73、 79、 83、 89、 97, 共计 25个; 除了 2 其余的质数都是奇数; 除了 2和5, 其余的质数个位数字只能是 1,3,7或 9. 考点:很多题都会以质数 2 的特殊性为考点,其次为 5、3 四、分解质因数部分常用特殊数的分解: 111 3 37 ? ?; 1001 7 11 13 ? ??; 11111 41 271 ? ?; 10001 73 137 ? ?; 1995 3 5 7 19 ? ???; 1998 2 3 3 3 37 ? ????; 2007 3 3 223 ? ??; 2008 2 2 2 251 ? ???; 10101 3 7 13 37 ? ???. 五、完全平方数常用性质性质 1 :完全平方数的末位数字只可能是 0,1,4,5,6,9. 性质 2 : 一个完全平方数被 3 、4 除的余数只能是 0 或1 性质 3: 完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。性质 4 : 一个完全平方数分解质因数后,各个质因数的指数都是偶数性质 5 :如果完全平方数的末位数字是 0 ,那么这个数的尾部有连续偶数个 0 性质 6 :两个连续自然数的平方数之间不再有平方数典型例题一、因数与倍数两个自然数的和是 50 ,它们的最大公约数是 5 ,试求这两个数的差. 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题【难度】 3 星【题型】解答【解析】【解析】设这两个自然数为: 5 a b 、5 ,其中 a 与b 互质, 5 5 50 a b ? ?, 10 a b ? ?,经检验,容易得到两数论综合廖老师 2 组符合条件的数: 9与1 或者 7与3 .于是,所要求的两个自然数也有两组: 45与5, 35与 15. 它们的差分别是: 45 -5 = 40 , 35