文档介绍：第六讲初等变换与初等矩阵
一、考试内容与考试要求
考试内容
矩阵的初等变换；初等矩阵；矩阵的等价．
考试要求
（1）掌握矩阵的初等变换及用途；
（2）了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念．
二、知识要点
引入由于初等行变换具有不改变线性方程组的解、初等变换不改变矩阵秩等特点，初等变换在线性代数课程的学习中占有重要的作用，它的应用贯穿了全课程的内容，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练．本讲通过对初等变换这个知识点的用途进行总结，学习相关内容．
1．初等变换与初等矩阵
线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法：用同解变换把方程组化为阶梯形方程组．线性方程组的同解变换有三种：①交换两个方程的上下位置．②用一个非0的常数乘某个方程．③把某个方程的倍数加到另一个方程上．
以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换．
（1）初等变换
矩阵有以下三种初等行变换：
①交换两行的位置；
②用一个非0的常数乘某一行的各元素；
③把某一行的倍数加到另一行上．(称这类变换为倍加变换)．
类似地，矩阵还有相应的三种初等列变换，初等行变换与初等列变换统称初等变换．
每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵（行最简形）．
一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是惟一的，但是其非零行数和台角位置是确定的．一个矩阵用初等行变换化得的行最简形是惟一的．行最简形矩阵应用最多，它的特点是：非零行的第一个非零元素为1，且这些非零元所在的列的其他元素都是0．
注：表示初等变换：：表示初等行变换；：表示初等列变换；：将第行与第行进行对换，将第行各个元素的倍加到第行相应元素上；等等．
（2）矩阵的等价
矩阵之间的关系有三种情形：等价、相似与合同．其中相似与合同分别在第十四讲和第
十五讲中学习，这里首先学习矩阵的等价．
定义：矩阵经有限次初等变换得矩阵，则称矩阵与等价，记为．
的充分必要条件是下列任一条件：
① 存在可逆矩阵，；
②与有相同的秩．其中、为同型矩阵；
③与有相同的等价标准形；
④存在初等矩阵，；
矩阵经有限次初等行变换得矩阵，则称矩阵与行等价，记为；
矩阵经有限次初等列变换得矩阵，则称矩阵与列等价，记为．
等价的性质
①反身性：
②对称性：若，则
③传递性：若，，则
由上面可得矩阵可逆的充分必要条件
①；
②是它可表示成有限个初等矩阵的乘积；
③存在可逆矩阵，.
（3）初等矩阵
对单位矩阵实施一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵．初等矩阵有三种：
①交换的行（或列）得到的初等矩阵，记为或；
②的行（或列）乘以不为零的数得到的初等矩阵，记为或；
③的第行（或列）乘以数加到第行（或列）上得到的初等矩阵，记为或．
（4）初等矩阵的性质
利用行列式的性质，很明显有
①②（）③
由于初等矩阵的行列式不为零，故初等矩阵是可逆的，其逆为：
④⑤（）⑥
证明⑥
=
==
⑦⑧（）⑨
⑩②（）③
证明⑩，其它类似可证明．
这些公式在解题时可直接用结论，不用计算．这样可简化运算，如利用有：
每一种初等变换都对应一种初等矩阵．对进行一次初等变换行（列）变换，相当于左（右）乘一个同类型的初等矩阵．
2．初等变换的用途
以初等变换的用途为例探讨这种角度的学习．这里总结了初等变换这个知识点的九种用途．
（1）求解线性方程组或的解，即：
行最简形
（2）求矩阵的逆，即：
或
（3）求矩阵方程的解，当可逆时，有：
（4）求矩阵的秩，即：
或化成行（或列）阶梯形，其中非零行（或列）的个数为秩．
（5）求向量组的最大线性无关组，即：
行最简形
从行最简形得出向量组的最大线性无关组．
（6）判断向量组的线性相关与线性无关性
由的解是非零解或惟一零解来判断向量组的线性相关与线性无关性：
n维向量组
或由向量组的秩，来判断向量组的线性相关与线性无关性：
若，向量组线性相关；若，向量组线性相关．
（7）判断向量是否可由向量组线性表示，即：
记=，需判断是否有解，即是否成立．
（8）判断向量组与的等价，即：
记=，，则时两个向量组等价．
（9）若行等价于，即，则，可求出：
或，则，可由求出。
（10）求矩阵特征向量
获得矩阵的特征值后，用初等变换求解齐次方程，得到特征向量．
三、基础训练
以下的例题是按上述的初等变换的用途按顺序举例的．
例1求解线性方程组．
解
得，
齐次方程组的基础解系，=
原方程组的一个特解为，故原方程组的全部解为
++（）
例求解下面的线性方程组，并用基础解系表示线性方程组的全部解．　
解这仍然是为初