双勾函数的性质与应用.doc

文档介绍：- -
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“双勾函数〞的性质及应用
问题引入：求函数的最小值．
问题分析：将问题采用别离常数法处理得，，此时如果利用均值不等式，即，等式成立的条件为，而显然无实数解，所以“〞不成立，因而最小值不是，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质．
一、利用“二次函数〞的性质研究“双勾函数〞的性质
1．“双勾函数〞的定义
我们把形如〔为常数，〕的函数称为“双勾函数〞．因为函数〔为常数，〕在第一象限的图像如“√〞，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名．
2．类比“二次函数〞与“双勾函数〞的图像
二次函数图像
“双勾函数〞图像
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3．类比“二次函数〞的性质探究“双勾函数〞的性质
〔1〕“二次函数〞的性质
①当时，在对称轴的左侧，随着的增大而减小；在对称轴的右侧，随着的增大而增大；当时，函数有最小值 ．
②当时，在对称轴的左侧，随着的增大而增大；在对称轴的右侧，随着的增大而减小．当时，函数有最大值．
〔2〕“双勾函数〞性质的探究
①当时，在左侧，随着的增大而减小；在的右侧，随着的增大而增大；当时，函数有最小值 ．
②当时，在的左侧，随着的增大而增大；在的右侧，随着的增大而减小．当时，函数有最大值．
综上知，函数在和上单调递增，在和上单调递减．
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下面对“双勾函数〞的性质作一证明．
证明：定义法．设R，且，那么
．
以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？
首先，∴就是一个分界点，另外我们用“相等分界法〞，令，可得到，因此又找到两个分界点，．这样就把的定义域分为，，，四个区间，再讨论它的单调性．
设，那么，，，
∴．
∴，即．
∴在上单调递减．
同理可得，在上单调递增；在上单调递增；在上单调递减．
故函数在和上单调递增，在和上单调递减．
性质启发：由函数的单调性及在其单调区间的端点处取值的趋势，可作出函数的图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关性质．此性质是求解函数最值的强有力工具，特别是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性的强大功能．
4．“二次函数〞与“双勾函数〞在处理区间最值问题上的类比
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