文档介绍：对称变换和对称矩阵
授课题目： 对称变换和对称矩阵
教学目的：
1．掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解题．
2．掌握对称变换的特征根、特征向量的性质．
3．对一个实对称矩阵Ａ，能熟练地找到正交矩阵Ｔ，使 为对角形
授课时数：3学时
教学重点：
对称变换的特征根、特征向量的性质;对实对称矩阵Ａ，能熟练地找到正交矩阵Ｔ，使 为对角形
教学难点：定理的证明
教学过程：
对称变换
1、一个问题
问题：欧氏空间V中的线性变换应该满足什么条件，才能使它在某个正交基下的矩阵是对角形？V满足：
2、对称变换的定义
设是欧氏空间V中的线性变换，如果都有、
则称是V的一个对称变换
例1 以下的线性变换中,指出哪些是对称变换?
3、对称变换与对称矩阵的关系
Th1：n维欧氏空间V中的线性变换是对称变换的充分必要条件是：
关于任意一个正交基的矩阵是实对称矩阵
证：必要性：设是对称变换，关于V的标准正交基的矩阵是A=即
A
则
因是对称变换，是标准正交基，所以
因此，A是对称矩阵
充分性 设关于V的标准正交基的矩阵是A=是实对称矩阵，即
A，A=
对任意，有
于是
A
A
其中A，A分别是，关于标准正交基的坐标列向量，因此
因A=故=
对称变换的基本性质
1、特征根的性质
Th2 实对称矩阵的特征根都是实数
证明：设A=是一个n 阶实对称矩阵，是A在复数域内的任意一个特征根，
是A的属于特征根的特征向量，于是有
记
，两端取共轭转置，由复数共轭的性质及得
所以 A=
又因为即A=
所以
即
对称变换的特征多项式在C内的根都是实根
2、特征向量的性质
Th3：n维欧氏空间的一个对称变换的属于不同特征根向量彼此正交。
证：设是n维欧氏空间欧氏空间V的一个对称变换，是V的特征向量。则
则有
=
因为
主要结果
1、主要定理
Th4：设是n维欧氏空间的一个对称变换，那么存在的一个标准基，使得关于这个基的矩阵是对角形式。
证明：对n 用数学家归纳法，n =1时是明显的，因为关于任意单位向量的矩阵都是对角形式。
设n >1，并且假设对于n-1维欧氏空间的对称变换来说定理成立，现在设n 维欧氏空间的一个对称变换，有特征根，令是的一个特征根，是中属于的一个特征向量，并且可设是单位向量：
令，在之下不变
也在之下不