文档介绍：最幽默的解释卷积的物理意义谈起卷积分当然要先说说冲击函数—- 这个倒立的小蝌蚪,卷积其实就是为它诞生的。”冲击函数”是狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出的符号。古人曰:”说一堆大道理不如举一个好例子”, 冲量这一物理现象很能说明”冲击函数”。在t 时间内对一物体作用 F 的力, 我们可以让作用时间 t 很小, 作用力 F 很大, 但让 Ft 的乘积不变, 即冲量不变。于是在用 t 做横坐标、F 做纵坐标的坐标系中, 就如同一个面积不变的长方形, 底边被挤的窄窄的, 高度被挤的高高的, 在数学中它可以被挤到无限高, 但即使它无限瘦、无限高、但它仍然保持面积不变( 它没有被挤没!), 为了证实它的存在, 可以对它进行积分,积分就是求面积嘛!于是”卷积”这个数学怪物就这样诞生了。说它是数学怪物是因为追求完美的数学家始终在头脑中转不过来弯, 一个能瘦到无限小的家伙, 竟能在积分中占有一席之地, 必须将这个细高挑清除数学界。但物理学家、工程师们确非常喜欢它, 因为它解决了很多当时数学家解决不了的实际问题。最终追求完美的数学家终于想通了,数学是来源于实际的,并最终服务于实际才是真。于是,他们为它量身定做了一套运作规律。于是,妈呀!你我都感觉眩晕的卷积分产生了。例子: 有一个七品县令,喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖,而且有个惯例:如果没犯大罪, 只打一板,释放回家,以示爱民如子。有一个无赖, 想出人头地却没啥指望, 心想: 既然扬不了善名, 出恶名也成啊。怎么出恶名?炒作呗!怎么炒作?找名人呀!他自然想到了他的行政长官——县令。无赖于是光天化日之下,站在县衙门前撒了一泡尿,后果是可想而知地,自然被请进大堂挨了一板子, 然后昂首挺胸回家, 躺了一天,嘿! 身上啥事也没有! 第二天如法炮制, 全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面, 第三天、第四天……每天去县衙门领一个板子回来, 还喜气洋洋地,坚持一个月之久!这无赖的名气已经和衙门口的臭气一样,传遍八方了! 县令大人噤着鼻子, 呆呆地盯着案子上的惊堂木, 拧着眉头思考一个问题: 这三十个大板子怎么不好使捏? ……想当初, 本老爷金榜题名时, 数学可是得了满分, 今天好歹要解决这个问题: ——人(系统! )挨板子(脉冲! )以后,会有什么表现(输出!)? ——费话,疼呗! ——我问的是:会有什么表现? ——看疼到啥程度。像这无赖的体格, 每天挨一个板子啥事都不会有, 连哼一下都不可能,你也看到他那得意洋洋的嘴脸了(输出 0) ;如果一次连揍他十个板子,他可能会皱皱眉头,咬咬牙,硬挺着不哼(输出 1) ;揍到二十个板子,他会疼得脸部扭曲,象猪似地哼哼(输出 3) ;揍到三十个板子,他可能会象驴似地嚎叫,一把鼻涕一把泪地求你饶他一命(输出 5) ;揍到四十个板子,他会大小便失禁,勉强哼出声来(输出 1) ;揍到五十个板子,他连哼一下都不可能(输出 0) ——死啦! 县令铺开坐标纸,以打板子的个数作为 X 轴,以哼哼的程度(输出)为 Y 轴,绘制了一条曲线: ——呜呼呀! 这曲线象一座高山, 弄不懂弄不懂。为啥那个无赖连挨了三十天大板却不喊绕命呀? ——呵呵,你打一次的时间间隔( Δτ=24 小时)太长了,所以那个无赖承受的痛苦程度一天一利索, 没有叠加, 始终是一个常数; 如果缩短打板子的时间间隔( 建议Δτ=0. 5 秒) ,那他的痛苦程度可就迅速叠加了;等到这无赖挨三十个大板( t=30 )时,痛苦程度达到了他能喊叫的极限,会收到最好的惩戒效果,再多打就显示不出您的仁慈了。——还是不太明白,时间间隔小,为什么痛苦程度会叠加呢? ——这与人(线性时不变系统)对板子(脉冲、输入、激励)的响应有关。什么是响应?人挨一个板子后,疼痛的感觉会在一天(假设的,因人而异)内慢慢消失(衰减) ,而不可能突然消失。这样一来,只要打板子的时间间隔很小,每一个板子引起的疼痛都来不及完全衰减,都会对最终的痛苦程度有不同的贡献: t 个大板子造成的痛苦程度=Σ(第τ个大板子引起的痛苦* 衰减系数) [ 衰减系数是( t-τ)的函数,仔细品味] 数学表达为: y(t)= ∫ T(τ)H(t- τ) ——拿人的痛苦来说卷积的事, 太残忍了。除了人以外, 其他事物也符合这条规律吗? ——呵呵,县令大人毕竟仁慈。其实除人之外,很多事情也遵循此道。好好想一想,铁丝为什么弯曲一次不折,快速弯曲多次却会轻易折掉呢? ——恩, 一时还弄不清, 容本官慢慢想来——但有一点是明确地——来人啊, 将撒尿的那个无赖抓来,狠打 40 大板! 卷积及拉普拉斯变换的通俗解释–对于我这类没学过信号系统的人来说太需要了卷积(convolution, 另一个通用名称是德文的 Faltung) 的名称由来, 是在于当初定义它时, 定义成 integ(f1