文档介绍：: .<br****题10-4
1设有一分布着质量的曲面二在点(x. y. z)处它的面密度为」(x y z)用对面积的曲面积分表达这曲面对于 x轴的转动惯
量-
解•假设(x y z)在曲面二上连续•应用元素法•在曲面匕上任意一点(x y z)处取包含该点的一直径很小的曲面块 dS(它的
面积也记做dS)则对于x轴的转动惯量元素为
dlx=(y2 z2尸(x y z)dS
对于x轴的转动惯量为
" (y2 z2尸(x,y,z)dS
y
2 ■按对面积的曲面积分的定义证明公式
f (x,y,z)dS 二 f (x,y,z)dS f (x,y,z)dS
其中匕是由匕1和匕2组成的•
证明划分匕1为m部分「StS2 「lSm・
划分3 2为n部分JSm1「Sm 2…rSm n
则八Si •…丄Sm • '■ Sm 1 ■•：…■■: /：; Sm n为二的一个划分•并且
m n m m n
i A i =1 i =m 1
令"广 maxFS} J2=mmrn+n2S} • “maxE"}-则当
-o时•有
.f (x, y,z)dS二 f (x,y,z)dS f (x, y,z)dS
i I L
3当匕是xOy面内的一个闭区域时•曲面积分..f (x,y,z)dS
与二重积分有什么关系？
解工的方程为z=0・ (x y^ D -
dS = j1 + z2 + zydxdy = dxdy -
故 f (x,y,z)dS 二 f (x,y,z)dxdy ■
r d
4,计算曲面积分..f (x, y,z)dS •其中二为抛物面z=2-(x2 y2)
在xOy面上方的部分f(x y z)分别如下
(1) f(x y z)=1
—— 2 2 2 2
解匕 z=2-(x y ) Dxy x y 空2
dS = J + z| + z2dxdy= J+4x2 + 4y2dxdy •
因此 f(x,y,z)dS= V 4x2 4y2dxdy
工 Dxy
2 °2 Ji 4r2rdr =2二[丄(1 tr2)3/2]。.13
0 12 3
■:
S d— _
(2) f(x y z) =x2 y2 解匕 z=2-(x2 y2) Dxy x2 y2乞2
dS= Ji + zj + z：dxdy二 Ji + 4x2 + 4y2dxdy ■
因此 f(x,y,z)dS 二(x2 y2) J 4x2 4y2dxdy
I Dxy
2 二 2
Jl+4r2rdr
o o
=2 r2、1 4r2rdr 二149： •
0 30
(3) f(x y z^3z-
解二 z=2-(x2 y2) Dxy x2 y2乞2
dS = j1 + z^ + zydxdy 二 J+4x2+4y2dxdy，
因此 f(x,y,z)dS
=3[2-(x2 y2)] ,1一4x2_4y2dxdy
Dxy
2 二 2
=3 (2-r2)、1 4r2rdr
0 0
=6- (2-r2)、1 4r2rdr 二111
o 10
5 ■计算(x2 y2)dS