文档介绍：.
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二项式定理
一、二项式定理：
〔〕等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数。
对二项式定理的理解：
二项展开式有项
字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1到0；字母按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到
二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数，等式都成立，通过对取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设，那么〔〕
要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式
二、二项展开式的通项：
二项展开式的通项是二项展开式的第项，它表达了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项〔如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等〕及其系数等方面有广泛应用
对通项的理解：
字母的次数和组合数的上标相同
与的次数之和为
在通项公式中共含有这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素
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例1．等于〔〕
A． B。 C。 D.
例2．〔1〕求的展开式的第四项的系数；
〔2〕求的展开式中的系数及二项式系数
三、二项展开式系数的性质：
①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离〞的两项的二项式系数相等，即
②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即偶数：；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即
③二项展开式的各系数的和等于，令，即；
④奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令，即
例题：写出的展开式中：
二项式系数最大的项；
项的系数绝对值最大的项；
项的系数最大的项和系数最小的项；
二项式系数的和；
各项系数的和
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多项式的展开式及展开式中的特定项
求多项式的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。
例题：求多项式的展开式
求二项式之间四那么运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。
例题：求的展开式中的系数
例题：〔1〕如果在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。
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〔2〕求的展开式的常数项。
【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定
五、展开式的系数和
求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择那么根据所求的展开式系数和特征来定
例题：，求：
〔1〕；〔2〕；〔3〕.
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六、二项式定理的应用：
1、二项式定理还应用与以下几方面：
〔1〕进行近似计算
〔2〕证明某些整除性问题或求余数
〔3〕证明有关的等式和不等式。如证明：取的展开式中的四项即可。
2、各种问题的常用处理方法
〔1〕近似计算的处理方法
当n不是很大，||比拟小时可以用展开式的前几项求的近似值。
例题：的计算结果精确到的近似值是〔〕
A． B． C． D．
整除性问题或求余数的处理方法
①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式
②用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数的倍数与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的通常为1，假设为其他数，那么需对幂的底数再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面〔或者是某项〕一、二项就可以了
③要注意余数的范围，对给定的整数，有确定的一对整数和，满足，其中为除数，为余数，，利用二项式定理展开变形后，假设剩余局部是负数，要注意转换成正数
例题：求除以7所得的余数
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例题：假设为奇数，那么被9除得的余数是〔〕
例题：当且>1，求证
【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定
综合测试
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一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1．在的展开式中，的系数为〔〕
A． B． C． D．
2．，的展开式按a的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n等于〔〕