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:
(a b)n Cn0an C1nan1b Cnranrbr Cnnbn(n N),
:
①二项式展开式:右边的多项式叫做 (a b)n的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数 Cnr(r 0,1,2, ,n).
③项数:共(r 1)项,是关于a与b的齐次多项式
④通项:展开式中的第 r 1项Cnranrbr叫做二项式展开式的通项。用 Tr1 Cnranrbr表
示。
:
①项数:展开式中总共有 (n 1)项。
②顺序:注意正确选择 a,b,其顺序不能更改。 (a b)n与(b a)n是不同的。
③指数:a的指数从n逐项减到0,是降幂排列。b的指数从0逐项减到n,是升幂排列。各项的次数和等于n.
④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是
Cn0,C1n,Cn2, ,Cnr, , a与b的系数(包括二项式系数)。
:
令a1,bx,
n
0
1
x
2
2
r
Cn
r
x
nn
(1x)
Cn
Cn
Cn
x
nC(xn)N
令a1,bx,
n
0
1
22
r
C
r
x
nnn
x(nN)
(1x)C
CxCx
(1)
n
C
n
n
n
n
:
①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即
Cn0 Cnn,·Cnk Cnk1
②二项式系数和:令 a b 1,则二项式系数的和为 Cn0 C1n Cn2 Cnr Cnn 2n,
变形式Cn1 Cn2 Cnr Cnn 2n 1。
③奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和:
在二项式定理中,令
a
1,b
1,则Cn0
Cn1
Cn2
Cn3
(1)nCnn
(11)n
0,
从而得到:Cn0
Cn2
Cn4
Cn2r
Cn1
Cn3
Cn2r1
1
2n
2n1
2
④奇数项的系数和与偶数项的系数和:
⑤二项式系数的最大项:
n
如果二项式的幂指数
n是偶数时,则中间一项的二项式系数
Cn2
Tn
取得最大值。
2
1
n1 n1
如果二项式的幂指数
n是奇数时,则中间两项的二项式系数
T
n1
C2
,C2
T
同时
n
n
n
1
2
2
n
1
n
1
取得最大值,且C2
n
C2
n。
⑥系数的最大项:
求(a bx)n展开式中最大的项,一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为A1,A2,
,An1,设第r
Ar1
Ar
,从而解出r来。
1项系数最大,应有
Ar
Ar1
2