文档介绍：微积分下册主要知识点
微积分下册主要知识点
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一、第一换元积分法(凑微分法）
。
二、常用凑微分公式
三、第二换元法
，
注： 以上几例所使用的均为三角代换， 三角代换的目的是化掉根式， 其一般规律如下: 当被积函数中含有
a） 可令
b） 可令
c） 可令
当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换。
四、积分表续
分部积分公式：
（3。1）
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(３。２)
分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数（或微分）的逆运算． 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m, ｎ都是正整数）。
5。１定积分的概念
两点补充规定:（ａ） 当时， （b） 当时, 。
性质1
性质2 (ｋ为常数）．
性质3 。
性质４
性质５ 若在区间上有 则
推论1 若在区间上 则
推论2
性质6 (估值定理)设M及m分别是函数在区间上的最大值及最小值,则
性质７ （定积分中值定理) 如果函数在闭区间上连续，则在上至少存在一个点， 使
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５。３微积分的基本公式
一、引例
二、积分上限的函数及其导数:
定理2 若函数在区间上连续,则函数
就是在上的一个原函数．
三、牛顿—莱布尼兹公式
定理3 若函数是连续函数在区间上的一个原函数，则
. (3。6)
公式（3．４）称为牛顿—莱布尼茨公式．
5。4定积分的换元法积分法和分部积分法
一、定积分换元积分法
定理1 设函数在闭区间上连续，函数满足条件：
(1） ﻩ且；
(2）在(或)上具有连续导数,则有
． （４。1)
公式（4。1）称为定积分的换元公式。
定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似。 但是，在应用定积分的换元公式时应注意以下两点:
(1）用把变量x换成新变量t时， 积分限也要换成相应于新变量的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限;
(2） 求出的一个原函数后，不必象计算不定积分那样再把
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变换成原变量x的函数,而只要把新变量t的上、下限分别代入然后相减就行了。
二、定积分的分部积分法
或
5．５广义积分
一、无穷限的广义积分
二、无界函数的广义积分
5。6定积分的几何应用
一、微元法
定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限"三个步骤把所求的量表示为定积分的形式。
可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量(总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下:
（1) 由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如为积分变量,并确定它的变化区间，任取的一个区间微元,求出相应于这个区间微元上部分量的近似值,即求出所求总量的微元
；
(２） 由微元写出积分 根据写出表示总量的定积分
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微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用。
应用微元法解决实际问题时,应注意如下两点：
（１） 所求总量关于区间应具有可加性,即如果把区间分成许多部分区间， 则相应地分成许多部分量， 而等于所有部分量之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;
(2） 使用微元法的关键是正确给出部分量的近似表达式，即使得． 在通常情况下,要检验是否为的高阶无穷小并非易事,因此，在实际应用要注意的合理性.
二、平面图形的面积
（1）直角坐标系下平面图形的面积
(2）极坐标系下平面图形的面积
曲边扇形的面积微元
所求曲边扇形的面积
三、旋转体:由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体。 这条直线称为旋转轴。
旋转体的体积微元
所求旋转体的体积
四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积,那么，这个立体的体积也