文档介绍：第30讲方差定义和计算公式
随机变量X 的均值: EX()
X对于均值的离差: XEX ()
X对于均值的平均离差: EX(()) EX  0
反映随机变量波动性可以用: EX[] ||  EX () 2
方差
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定义: 设XX 是一个随机变量，若EX[  E( )]2 存在，
则称其为X 的方差，记为DX( ))或 Var(X ，即
DX() VarX () E [ X EX ()].2
将记为称为的或DX(,)  (X ) X 标准差均方差.
DX()和 () X 刻画了 X 取值的波动性 , 是衡量 X 取值分
散程度的数字特征. 若DX() 较小 , 则 X 取值比较集中;
反之,(), 若DX 较大则说明 X 取值比较分散.
 ()XX是与随机变量具有相同量纲的量.
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2
注意到, 当取 gx() [ x EX ( )],则 DX( ) E (g (X )).
对于离散型随机变量X，其分布律为
PX(), xii p i 1,2,,

则 2
DX() [ xii EX ()]; p
i1
对于连续型随机变量X，其概率密度函数为 f (),x

则 DX() [ x EX ()]().2 f xdx

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利用数学期望的性质，可得方差的计算公式：
D()XEXEX (22 )[()]
事实上，DX() E [ X EX ()]2
EX 222()[()] XEX  EX 
EX()2()()[()]22 EXEX  EX
EX()[()].22 EX
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例1: 设随机变量X 具有01 分布 , 其分布律为：
PX(0)1,(1), p PX  p 求 DX ().
解：已知 EX() p ,且
EX()0(1)122  p  2 p p .
所以
D()XEXEX (22 )[()]p ppp2 (1  ).
即0-1分布的期望为p , 方差为pp (1- ).
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例:2 设 XDX(), 0, 求 ( ).
k 
解: XPXkk 的分布律为： ()  e ,0,1,0; 
k!
之前，已算得 EX()  .

而 EX()2 EXX(1) X  EX[( X 1)]() EX
 k   k2
kk(1) e  2   e
k0 k! k2 (2)!k 
 i
2   e   2 .
i0 i!
所以 DX() EX (22 )[()] EX ,
即泊松分布的均值与方差相等,