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“双勾函数”的性质及应用
, ,, X2 5 ,
问题引入：求函数y 5的最小值.
问题分析：将问题采用分离常数法处理得,
X14—1 XT^ . x2 4
X2 4
如果利用均值不等式，即y Jx2 4
X2 4
等式成立的条件为
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Jx2 4 , 1 ,而Jx2 4 , 1 显然无实数解，所以 “”不成立，因而最小值
・ X2 4 x2 4
不是2,遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知 的函数具有相似的性质呢 ？带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质.
一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质
.“双勾函数”的定义
k -
我们把形如 f(x) x — (k为常数，k 0 )的函数称为“双勾函数” .因为函数
x
一 k 一
f(x) x — (k为常数，k 0)在第一象限的图像如，而该函数为奇函数，其图
x
像关于原点成中心对称，故此而得名.
.类比“二次函数”与“双勾函数”的图像
二次函数图像
“双勾函数”图像
.类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质
“二次函数”的性质
①当a 0时，在对称轴的左侧， y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧， y随着x
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的增大而增大；当x 上-时，函数
2a
2
4ac b
y有最小值
4a
②当a 0时，在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧， y随着x
b
-b-时，函数
2a
2
-4ac b
y有取大值
4a
“双勾函数”性质的探究
①当x 0时，在x Jk左侧,
y随着x的增大而减小；在 x Jk的右侧，y随着x
的增大而增大；当x Jk时，函数y有最小值2次.
②当x 0时，在x Jk的左侧，y随着x的增大而增大；在x Jk的右侧，y随
x Jk时，函数y有最大值 2jk.
综上知，函数f(x)在(，Jk］和［衣，)上单调递增，在［衣,0)和(0,次］上单 调递减.
下面对“双勾函数”的性质作一证明.
证明： , x2 R,且x1 x2，则
a k (xi x2)(xix2 k) k、
f(x〔) f d) xi - x 一 尸 (xi x2)(1 ).
x1 x2 x1 x2 x1x2
以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？
首先x 0, •• x 0就是一个分界点，另外我们用 相等分界法”，令x1 x2 x0,
1 与 0可得到x Jk,因此又找到两个分界点 Jk, (x)的定义域
x。
分为(，Jk］, ［ Jk,0) , (0,Jk］, ［Jk,)四个区间，再讨论它的单调性.
设 0 x1 x2 泵，则 x1 x2 0, x1x2 0, 0 x1x2 k ,
x1x2 k 0.
k k (xi x2)(xix2 k)
•• f(xi) f(x2) xi — x2 - 0^ 0 , IP f (xi) f (x2).
xi x2