文档介绍：Cantor集与Cantor函数
【摘要】：主要介绍Cantor集与Cantor函数的定义、基本性质与其分形
【关键词】：Cantor集、Cantor函数、分形
Cantor集与Cantor函数的定义
、Cantor集的定义
将基本区间[0 , 1]用分点1/3 , 2/3三等分，并除去中间的开区问
= [0,把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区问
I*二m ।曲二&3,然后再将余下的四个闭区间用同样的方法处理。
这样，当进行到n次时，一共去掉2rLi个开区间%/如此下去，就从I10, 1]
中去掉了可数个不相交的开区问
1 2 I 2 1 0 1 2 7 0 |19| 20 125 26
G=G，§）U（浦刘u每屏）u（艮骗）u（W，示）U（手，王）U（利才）5… ..
而康托尔集C=[0, 1] - G 。
、Cantor函数的定义
将基本区间[0 , 1]用分点1/3 , 2/3三等分，并除去中间的开区问
E二,乱同时令
1
f（x） = 1 K 6 I 11
把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区问
㈤二…二（/，同时令
2k - 1
f（x） = ：- x E lZk
然后再将余下的四个闭区间用同样的方法处理。这样，当进行到n次
时，一共去掉2… 个开区间此时令
f（X）= X G
卜面我们定义如下函数:
f(x)=
， 01 x = 0
2k - 1 1 -
x W W k W 2” 1n 2 1
i L = 1
这个函数f(x)就是Cantor函数。
Cantor集与Cantor函数的基本性质
、Cantor集的性质
、完备性
Cantor 集是完备集:
引理：F?G,则F是完备集的充分必要条件是严二R - F是至多可数个两两不相交且无公共端点的开区间的并，既
Fc = U（口* Bk）
k孑1
（Ql Bk'金।两两不相交且无公共端点
证明：Cantor集明显满足上述条件
G=[0,1]\C
故：
R-C=G 1 1
而:
为两两不相交且没有公共端点的开区间的并
故C为完备集
、Cantor 集是疏集，没有内点
19
U (衣
20 25
证明：假设M是C的内点，则存在5 > 0使得6-1X + b）?G这样
G U （x - ）含于［0,1］中且这个开集的各个构成区间互不相交，这些区间的长度之和大于 1,矛盾。
由C 二二 C 二??C是疏集。
、G=［0,1］\C 是［0,1］中的稠密集
既证明G=［0,1］
证明：易得G?［0J］,下证［0J］?目
反证法，任取x £ ［0, 1］且x?G,则存在x的一个邻域，其中不含
有G的点。可得这个领域在 C内。又故x£C,所以x是C中的内点。与C是疏集矛盾。所以|［0, 1］?Go故G=［0J］ , G是［0,1］中的稠密集，证毕。
、C具有连续统势
由上述性质，似乎Cantor完备集中没有多少点了！但事实上不然，下面证明其有连续统势。
证明：由定理可得，（0,1）与无限n元数列全体等价。所以，（0,1）中每点x ,有惟一的一个无限三