文档介绍：DISCRETE
MATHEMATICS
ELSEVIER Discrete Mathematics 156 (1996) 29-81
Triangulations
M. Bauer, C. Itzykson t
Service de Physique Th~orique, Centre d'Etudes de Saclay, 91191 Gif-sur-Yvette Cedex, France
Received 15 July 1993
Ces notes traitent de diverses questions lires ~ la triangulation des surfaces.
Ce sujet, ~ l'origine de la partie la plus 616mentaire de la topologie, se rrvrle d'une
richesse insoupqonnre. D'une part physiciens et mathrmaticiens en explorant la 'gravit6
quantique' ~ deux dimensions en ont tir6 des informations sur l'espace des modules des
courbes algrbriques. D'autre part un throrrme de Belyi [1] &ablit une 6quivalence entre
courbes arithm&iques et recouvrements finis de la droite projective ramifirs aux images
rrciproques de trois points (0, 1 et cx)) de sorte qu'une drcomposition de la sphere
de Riemann en deux triangles peut &re relevre en une triangulation caractrristique de
la courbe. I1 s'ensuit que le groupe de Galois Gal(Q/Q) agit sur les triangulations
(des surfaces orientables compactes) dont les sommets adjacents portent deux valeurs
distinctes parmi trois possibles.
La combinatoire, la throrie des groupes ~ divers titres, la topologie et l'arithm&ique
semblent inextricablement m~lres. On se bornera ici ~ drcrire les aspects les plus
616mentaires, accessibles aux auteurs, en mettant plut6t l'accent sur les points qui leur
sont obscurs.
Que la throrie des groupes (finis ou plus grnrralement discrets) soit lire aux
drcompositions cellulaires trouve son origine dans l'interprrtation graphique d'une
prrsentation par grnrrateurs et relations qui date au moins de Cayley (cf. la Sect. 8 du
livre de Coxeter et Moser [4]). Une drcomposition cellulaire d'une surface compacte
orientable est engendr~e