文档介绍：第十章
积分学定积分二重积分三重积分
积分域区间域平面域空间域
曲线积分
曲线域
曲面域
曲线积分
曲面积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
曲面积分
曲线积分与曲面积分
考研曲线积分和曲面积分
第一节
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
二、对弧长的曲线积分的计算法
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对弧长的曲线积分
第十章
考研曲线积分和曲面积分
内容小结
1. 定义
2. 性质
( l 曲线弧  的长度)
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考研曲线积分和曲面积分
3. 计算
• 对光滑曲线弧
• 对光滑曲线弧
• 对光滑曲线弧
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考研曲线积分和曲面积分
如果曲线 L 的方程为
则有
如果方程为极坐标形式:
则
推广: 设空间曲线弧的参数方程为
则
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考研曲线积分和曲面积分
其中L1是曲线L在x轴右侧的那一部分；关于y轴对称也有类似结论。
对称性的应用：
，函数f(x,y)关于y为奇偶函数，则
考研曲线积分和曲面积分
(x,y)在曲线连续，曲线L关于原点对称，函数f(x,y)关于（x,y）为奇偶函数，则
其中L1是曲线L在右半平面或上半平面的那一部分。
考研曲线积分和曲面积分
例1. 计算
其中L为双纽线
解: 在极坐标系下
它在第一象限部分为
利用对称性 , 得
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考研曲线积分和曲面积分
例2. 计算
其中为球面
解:
化为参数方程
则
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考研曲线积分和曲面积分
思考与练****br/>已知椭圆
周长为a , 求
提示:
原式 =
利用对称性
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考研曲线积分和曲面积分