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高中数学教案一导数、定积分
一•课标要求：
1 •导数及其应用
(1) 导数概念及其几何意义
① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概 念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
② 通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
(2) 导数的运算
2 3
① 能根据导数定义求函数 y=c，y=x，y=x，y=x，y=1/x，y=x的导数；
② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，
能求简单的复合函数(仅限于形如 f( ax+b))的导数；
③ 会使用导数公式表。
(3) 导数在研究函数中的应用
① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究 函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；
② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不 超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、 最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
(4) 生活中的优化问题举例
例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作 用。
(5) 定积分与微积分基本定理
① 通过实例(如求曲边梯形的面积、 变力做功等)，从问题情境中了解定积分的实际背
景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；
② 通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系) ，直观了解微积分基
本定理的含义。
(6) 数学文化
收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料， 并进行交流；体会微积分的建立在
人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中 ”数学文化”的要求。
导数是高中数学中重要的内容， 是解决实际问题的强有力的数学工具， 运用导数的有关
知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。 在高考中考察形式多种多
样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、 运算及导数的应用，也经常以解答
题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值 •
三•要点精讲
函数y=f(x),如果自变量x在x 0处有增量 x，那么函数y相应地有增量 y=f(x0+ x ) —f ( x 0),比值一y叫做函数y=f ( x)在x 0到x 0 + x之间的平均变化率，即
x
y_f(x° x) f(x°)
— 。
x x
如果当 x 0时，一y有极限，我们就说函数 y=f(x)在点x0处可导，并把这个极
x
限叫做f (x)在点x0处的导数，记作f '( x0 )或y 'lxx)。
即 f (x0) = lim
x 0
y = lim
f (Xo
X) f(X°)
o
X
说明：
(1) 函数f (x)在点x0处可导，是指 x 0时，-有极限。如果-1不存在极
X x
限，就说函数在点 x0处不可导，或说无导数。
(2) x是自变量x在x0处的改变量， x 0时，而 y是函数值的改变量，可以是
零。
由导数的定义可知，求函数 y=f (x)在点x0处的导数的步骤(可由学生来归纳)：
(1) 求函数的增量 y=f( x0+ x )— f (x0 )；
(2) 求平均变化率」=丄^0——X^一；
X X
(3) 取极限，得导数f' (x 0)= lim y o
x 0 x
2•导数的几何意义
函数y=f (x)在点x 0处的导数的几何意义是曲线 y=f (x)在点p(x 0, f (x 0)) 处
的切线的斜率。也就是说，曲线y=f (x)在点p( x 0, f (x 0))处的切线的斜率是f' (x0 )o
相应地，切线方程为 y— y 0 =f (x 0) (x — x 0) o
3•常见函数的导出公式.
(1) (C) 0 (C为常数) (2) (xn) n Xn 1
(3) (sin x) cosx (4) (cosx) sinx
4•两个函数的和、差、积的求导法则
法则1:两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和 (或差)，
I I I
即：(u v) u v.
法则2:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数 ，加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即： (uv)' u'v uv'.
若C为常数，则(C