文档介绍：数学解题方法与技巧一、换元法“换元”的思想和方法,在数学中有着广泛的应用,灵活运用换元法解题,有助于数量关系明朗化, 变繁为简,化难为易,给出简便、巧妙的解答。在解题过程中,把题中某一式子如 f(x) ,作为新的变量 y 或者把题中某一变量如 x ,用新变量 t 的式子如 g(t) 替换,即通过令 f(x)=y 或 x=g(t) 进行变量代换, 得到结构简单便于求解的新解题方法, 通常称为换元法或变量代换法。用换元法解题,关键在于根据问题的结构特征,选择能以简驭繁,化难为易的代换 f(x)=y 或 x=g(t) 。就换元的具体形式而论,是多种多样的,常用的有有理式代换,根式代换,指数式代换,对数式代换,三角式代换,反三角式代换,复变量代换等,宜在解题实践中不断总结经验,掌握有关的技巧。例如,用于求解代数问题的三角代换,在具体设计时,宜遵循以下原则:(1 )全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质;(2 )力求减少变量的个数,使问题结构简单化;(3 )便于借助已知三角公式,建立变量间的内在联系。只有全面考虑以上原则,才能谋取恰当的三角代换。换元法是一种重要的数学方法,在多项式的因式分解,代数式的化简计算,恒等式、条件等式或不等式的证明,方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解,函数表达式、定义域、值域或最值的推求, 以及解析几何中的坐标替换,普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中,都有着广泛的应用。例1分解因式: (x 2 -x-3)(x 2 -x-5)-3 例2在实数集上解方程: 414 14 33????xx 例3设 sinx+siny=1 ,求 cosx+cosy 的取值范围. 例4设 x,y ∈R,且14 2 2??y x ,求函数 f(x,y)=x 2 +2xy+y 2 +x+2y 的最小值和最大值。二、消元法对于含有多个变数的问题,有时可以利用题设条件和某些已知恒等式(代数恒等式或三角恒等式),通过适当的变形,消去一部分变数,使问题得以解决,这种解题方法,通常称为消元法,又称消去法。消元法是解方程组的基本方法,在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中,也有着重要的应用。用消元法解题,具有较强的技巧性,常常需要根据题目的特点,灵活选择合适的消元方法。例1解方程组: 11 51 4????yx x+1=y x-y-z=6 例2解方程组: y-z-x=0 z-x-y= -12 例3、设 a,b,c 均为不等于 1的正数,若 a x =b y =c z①0 111???zyx ②求证: abc=1 三、待定系数法按照一定规律,先写出问题的解的形式(一般是指一个算式、表达式或方程),其中含有若干尚待确定的未知系数的值,从而得到问题的解。这种解题方法,通常称为待定系数法;其中尚待确定的未知系数, 称为待定系数。确定待定系数的值,有两种常用方法:比较系数法和特殊值法。一、比较系数法比较系数法,是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数,得到关于待定系数的若干关系式(通常是多元方程组),由此求得待定系数的值。比较系数法的理论根据,是多项式的恒等定理:两个多项式恒等的充分必要条件是对应项系数相等, 即 a 0x n +a 1x n-1+…+a n≡ b 0x n +b 1x n-1+…+b n的充分必要条件是 a 0 =b 0,a 1