文档介绍：n阶行列式的计算方法
“对角线法则”：
项，三阶行列式
（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（ 2）二阶行列式每项含 2
每项含3项，每项均为不同行、不同列的元素
的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角
线的项为负号。
例1计算二阶行列式D = 1 3。
2 4
1 3=1X4 - 3 X
解：D= 2 = - 2
2 4
1 2 0
例2计算三阶行列式D = 4 - 3 8。
0-12
解：
1)
1 2 0
4 - 3 = 1 X ( - 3) X 2 + 2 X 8 X 0 + 0 乂 4 X ( D = 8(- 3) X 0 - 2 X 4 X 2-1X 8 X ( - 1)
0- 1 2
=-14
.利用n阶行列式的定义
n阶行列式D
a
11
a
21
?
a
n1
a12 ?1 n
1in
? c
a ? a
n2 nn
(P1 P2 ? pn )
a
2 P2
a
np
其中T =
虫P1
P2 ? Pn ）,求和式中共有n!
项。
显然有
a
11
上三角形行列式D二

a12 a1 n
a22 ?a2 n =a 1a22?ann
? ?
a
nn
=a a ? a
a
11
卜三角形行列式D = 21
a
nl
a ? a
n2 nn
1
对角阵
Xn
另外D =
计算行列式
Dn =
n( n-
1)
入
=(-1)
2
1
n- 1
Dn中不为零的项用一般形式表示为
a1 n-1 a
2 n- 2
a
nn -
该项列标排列的逆序数 t （ n—1 n-2 1
n)
等于
a = n! .
11 nn
1)( n- 2)
-
2
D =
(-1)
(n-
1)( n
2) n!
2-
1
.利用行列式的性质计算
性质1行列式与它的转置行列式相等
,即 D= DT o
1
注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质，它的列也同样具有。
1
1
性质2
1
交换行列式的两行（列），行列式变号。
推论
性质3
若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式为零。
等于用数k乘此行列式，即
用数k乘行列式的某一行（列，
=kD 。
1
nl
n2
ann
a a
n1 n2 ann
第i行（列）乘以k，记为ri x k（或g x k）。
的外面。
推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符
推论2行列式中若有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，
11
12
性质5
例4计算
解Dn a]
b +c b
+ c
i2
? b
in
+ c
in
a
n1
a
n2
a
nn
a
11
a
n1
a
12
a
n2
a1
bin
Cnn
将行列式的某一行
位置的元素上,
Dn
r +( r +? 1 2
X+ (
n-
a
11
a
12
a〔 n
cin
=D1 +
嚏o
a
n1
a
n2
ann
（列）的所有元素都乘以数
k后加到另一行（歹U）对应
行列式不变。
1)
=[x+
(n- 1) a]
x- a
x-
[x+ ( n-
1)
a](
x-
n- 1
a)
例5 一个n阶行列式Dn = aij 〃［素满足
aij = - a ji , i , j = 1,2, ? , n,
则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零
证明：由 aij = - aji 知 aii = - aii ，即
aii = 0, i = 1, 2, ? , n
故行列式 Dn 可表示为
13
Dn =
由行列式的性质 D = DT
二（
当n为奇数时,

a
12
a
a〔 n
a12 a
13
0
a12
a
12
a
13
1)
0
a
23
a
23
a
23
a13
a
23
ai
a2
a3