文档介绍：函数奇偶性
函数的奇偶性及奇偶函数的图象
函数 y = f ( x ) 在定义域 A 内任取一个 x ∈A，且－x ∈A
1) 都有 f (－x ) = f ( x )
2) 都有 f (－x ) = －f ( x )
3) 都有 f (－x ) ≠ －f ( x ) 且 f (－x ) ≠ f ( x )
则 f ( x ) 是偶函数
则 f ( x ) 是非奇非偶函数
则 f ( x ) 是奇函数
问题：1）奇偶性在什么范围内考虑的？
2）在定义域 A 内任取一个 x , 则－x 一定在定义域 A 内吗？
注意：1）奇偶性在整个定义域内考虑；
2）定义域若不是关于原点对称的区间，则 f ( x ) 是非奇非偶函数；
3）考虑函数奇偶性必需先求出定义域。
函数的奇偶性及奇偶函数的图象
例1、判断下列函数是否有奇偶性：
1） f ( x ) = 6x 6 + 3x 2 + 1 2） f ( x ) = －x 3 + x 5
解：此函数的定义域为 R
∵ f (－x ) = 6 (－x ) 6 + 3 (－x ) 2 + 1
= 6 x 6 + 3 x 2 + 1
= f ( x )
∴ f ( x ) 是偶函数
解：此函数的定义域为 R
∵ f (－x ) = － (－x ) 3 + (－x ) 5
= x 3 －x 5
= －(－x 3 + x 5 )
= －f ( x )
∴ f ( x ) 是奇函数
3） f ( x ) = x 2 + 2x + 4 4） f ( x ) =
解：此函数的定义域为 R
∵ f (－x ) = (－x ) 2 + 2 (－x ) + 4
= x 2 －2x + 4
∴ f ( x ) 是非奇非偶函数
解：此函数的定义域为 [－2 , + ∞)
∴ f ( x ) 是非奇非偶函数
函数的奇偶性及奇偶函数的图象
例2：判断函数 f ( x ) = 的奇偶性
解：由题
－4
－1
0
1
∴ 函数的定义域为 [－1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ]
此时 f ( x ) =
= －f ( x )
故 f ( x ) 是奇函数
函数的奇偶性及奇偶函数的图象
判定函数的奇偶性的步骤：
1）先求函数的定义域；
若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数
若定义域是关于原点对称的区间，进入第二步；
2）计算 f (－x ) 化向 f ( x ) 的解析式；
若等于 f ( x ) ，则函数是偶函数
若等于－f ( x ) ，则函数是奇函数
若不等于，则函数是非奇非偶函数
3）结论。
函数的奇偶性及奇偶函数的图象
奇偶函数的图象
函数的奇偶性及奇偶函数的图象
想一想
观察下列函数的奇偶性，并指出图象有何特征？
x
y
o
y = x 2 －2
x
y
o
y = x 3
x
y
o
y = x + 1
图象
奇偶性
图象特征
（1）
（2）
（3）
奇函数
关于原点成中心对称
关于 y 轴成轴对称
偶函数
非奇非偶函数
简称关于原点对称
简称关于 y 轴对称
不关于原点及 y 轴对称
函数的奇偶性及奇偶函数的图象
定理：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称；
反之，如果一个函数的图象关于原点（y 轴）对称，那么这个函数是
奇（偶）函数。
此定理的作用：简化函数图象的画法。
例3、如图给出函数图象的一部分，用对称法作出下列函数的图象：
x
y
o
x
y
o
1）若函数是奇函数
2）若函数是偶函数
函数的奇偶性及奇偶函数的图象
例4、作出函数 y = x 2 － | x | －6 的图象
解：当 x ≥ 0 时， y = x 2 － x －6
当 x ＜ 0 时， y = x 2 + x －6
x
y
o
若利用对称法作图：
先作出 x ≥ 0 的图象
再用对称法作出另一半的图象；
可知函数是偶函数
函数的奇偶性及奇偶函数的图象
例5、已知 f ( x ) 是奇函数，当 x ≥ 0 时， f ( x ) = x 2 －2x，求当 x ＜ 0 时，
f ( x ) 的解析式，并画出此函数 f ( x ) 的图象。
x
y
o