文档介绍：微积分下册主要知识点
微积分下册主要知识点
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一、第一换元积分法（凑微分法)
。
二、常用凑微分公式
三、第二换元法
,
注： 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有
a) 可令
ｂ) 可令
c) 可令
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当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换。
四、积分表续
4。3分部积分法
分部积分公式:
（)
（）
分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数（或微分）的逆运算. 一般地， 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法（其中ｍ, n都是正整数）.
5．２定积分的性质
两点补充规定：（a） 当时， (b） 当时, 。
性质1
性质２ （k为常数)．
性质3 .
性质4
性质5 若在区间上有 则
推论1 若在区间上 则
推论２
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性质6 (估值定理)设M及m分别是函数在区间上的最大值及最小值，则
性质7 （定积分中值定理) 如果函数在闭区间上连续,则在上至少存在一个点， 使
一、引例
二、积分上限的函数及其导数：
定理２ 若函数在区间上连续,则函数
就是在上的一个原函数.
三、牛顿—莱布尼兹公式
定理3 若函数是连续函数在区间上的一个原函数,则
。 (3。6)
公式（３．４）称为牛顿—莱布尼茨公式．
一、定积分换元积分法
定理1 设函数在闭区间上连续，函数满足条件：
(1) 且；
（2)在(或)上具有连续导数，则有
. (4。1)
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公式(）称为定积分的换元公式．
定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似。 但是，在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：
(1)用把变量x换成新变量t时， 积分限也要换成相应于新变量的积分限，且上限对应于上限,下限对应于下限;
（２) 求出的一个原函数后，不必象计算不定积分那样再把变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入然后相减就行了。
二、定积分的分部积分法
或
５．5广义积分
一、无穷限的广义积分
二、无界函数的广义积分
５。6定积分的几何应用
一、微元法
定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式。
可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量(总量）表示为定积分的方法-
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—微元法,这个方法的主要步骤如下：
(1) 由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量,例如为积分变量，并确定它的变化区间，任取的一个区间微元，求出相应于这个区间微元上部分量的近似值,即求出所求总量的微元
;
(２) 由微元写出积分 根据写出表示总量的定积分
微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用。
应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：
(1) 所求总量关于区间应具有可加性，即如果把区间分成许多部分区间, 则相应地分成许多部分量, 而等于所有部分量之和． 这一要求是由定积分概念本身所决定的;
（2） 使用微元法的关键是正确给出部分量的近似表达式，即使得。 在通常情况下,要检验是否为的高阶无穷小并非易事,因此，在实际应用要注意的合理性。
二、平面图形的面积
(１）直角坐标系下平面图形的面积
（2）极坐标系下平面图形的面积
曲边扇形的面积微元
所求曲边扇形的面积
三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为
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旋转体。 这条直线称为旋转轴。
旋转体的体积微元
所求旋转体的体积
四、平行截面面积为已知的立体的体积:如果一个立