文档介绍：，匕京航弥就天大拳
材料力学小论文
圆形薄板小挠度不同约束下的挠度计算分析
12151196 梁桐
1背景
在材料力学课程中，第七章主要内容是梁的弯曲变形，通过对梁进行有限元分析，导出了梁在不同约束、不同受力情况下的小挠度公式。但是在实际的工程应用中，还有另外一种比较常见的情况一一薄板的受力，书中没有讨论。本文将就一种特殊情况，即圆形薄板受均布载荷情况下的小挠度计算分析。
2建模计算分析
圆形薄板的受力模型及其基本假设
查阅相关资料，并结合书本知识，先讨论均布载荷为横向轴对称的情况，并做出如下基本变形假设：
1）板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法线w的挠度，只有横向力载荷；
2）变形前位于中性面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上, 且法线上各点间的距离不变；
3）平行于中性面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。
则据此，使用有限元法可以推得受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分
方程为:
??3?? i ??2??
1 ?? ??
?? ?? 3 ?? ?? ?? 2
?? 2 ?? ??
??
d 1 ?? ?? ??
dr ?? ?? ??.?? ??
??
一 ??
??
其中Fs为距圆心距离为r处的横向剪力，对D有:
3
?? ?
??
2
12 1 ??
其中h为圆形薄板的厚度，卜为材料的泊松比
圆形薄板内力计算和挠度、转角方程
将圆形薄板加上集度为q的均布载荷，如图所示:
则由静力学平衡方程有:
?? ??
F??
带入挠度微分方程有:
d 1 ??
?? ??
?? ??
??
dr ?? ?? ??
?? ??
2??
对上式中的变量r连续三次积分得:
?? ??
??
??1??
64??
?? 2 ?? ?? ??
??3
由于r=0处的w应该为有限值，则应该有 C2=0 ,最终得到:
??
?? ??
?? 1??
64??
??
一 3
并由此可以得到:
?? ??
?? ??
??1??
?? ??
16??
其中Cl、C3需由边界调节确定。
16??
3几种不同约束条件下的计算
圆周处为固定支座由于圆周处的约束为固定支座，不允许有挠度和转角，则有边界条件
r R w 0 0
则带入挠度、转角方程得积分常数：
2 4
?? ?? ?? ??
?? 1 8?? ??3 64??
所以有圆周固定支座的转角、挠度方程为：
?? ?? 2 勿 2
16??" "
w —— ?? 2 ??2 2
64??
圆周处为简单支座（不约束转角）此时有约束条件:
因为
16??
?? 2??
2
?? ??
??
??
16??
?? 2??
?? ?? 0 0
2
?? ??
则有全部约束条件为：
??
将边界条件带入得：
??
——?? 4 6?? 2 ?? 2 5?? 4
64??
16??
1