文档介绍：加试模拟训练题(87)
1求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上；
已知整数列｛a。，a】，a2, •••｝满足：
Hn+i—3a，n—3a»nT+a4i-2, n—2, 3, • • • ?
~:a，o+a<2—2；
对任意自然数m,在数列｛a0, ai, a2,…｝中必有相继的m项弘, a_k+i,…，Qk+m-i都是完全平方数.
求证：｛ao, ai, a2,…)的所有项都是完全平方数.
有24个面积为S的全等小矩形，把所有这些小矩形拼成一个与小矩形相似的大矩形，问小矩形的边长各是多少？
, 2a”+| = 3a” ++ 4 (“ = 1,2,…),证明对于a”不可能有某一正整数N ,使
a?” 能被 1989整除.(P. 185, 32)
加试模拟训练题(87)
1求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上；
证明：如图，设四条直线AB、BC、CD、AD中，
AB交CD于点E, BC交AD于点F,
圆BCE与圆CDF的另一个交点为G
ZBGF = ZBGC + ZCGF = ZBEC + ZCDA
Z5GF + ZA = 180°,即圆ABF过点G
同理圆AED也过点G
.•.圆BCE、圆CDF、圆ABF、圆AED交于同一点G
若点G向AB、BC、CD、DA所作垂线的垂足分别为E、L、M、N、P,
由西姆松定理可知厶、M、N在一条直线上,
M、N、P在一条直线上，
故厶、M、N、P在同一条直线上
｛a,” ai, a-i,…｝满足：
(1) Q-n+l — —3an-l+O>n-2, fl—2, 3, * * * ?
(2 ) 2ai~2 ；
(3)对任意自然数m,在数列｛do, ai, a2,…｝中必有相继的m项弘, &k+i,…，8k+m-i都是完全平方数.
求证:(a0, a】，a2,…)的所有项都是完全平方数.
【题说】1992年中国数学奥林匹克题6・
【证】令dn=an-an-i,则由(1)
dn+l-dn二dn-dn-l二 * ••二也一dl
所以｛dn｝是等差数列，从而
由(2), d2-di=a2-2ai+ao=2,所以
an=n2+bn +c, b、cWZ
若b为奇数2t+l,则在n充分大时，
■. (n+t) ^+n + c-t?
大于（n+t）」，小于（n+t+1） 2 （= （n+t）」+2n+2t+l）,因而a”不是平方（3）, ｛a”｝有任意大的平方数，矛盾！所以b为偶数2t,从而 a”= （n+ t）」+c-t2
在c-t2>0时，对于充分大的n, a”介于（n+t）'与（n+t+1）'之间，与
（3）
样c-t2<0也导出矛盾（考虑连续平方数（n+t-1）'与（n+t） 2）.所以 c-1」=0, a”= （n+ t.） 2.
【注】（3）可减弱为｛a”｝中有任意大的平方数，即｛a”｝中有无穷多个平方数.
，把所有这些小矩形拼成一个与小矩形相似的大矩形，问小矩形的边长各是多少