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第五章二次型
1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。
1）；
2）；
3）；
4）；
5）；
6）；
7）。
解 1）已知，
先作非退化线性替换
（1）
则

，
再作非退化线性替换
（2）
则原二次型的标准形为
，
最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为
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（3）
于是相应的替换矩阵为
，
且有
。
2）已知，
由配方法可得

，
于是可令
，
则原二次型的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
相应的替换矩阵为
，
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且有
。
（3）已知，
由配方法可得

，
于是可令
，
则原二次型的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
相应的替换矩阵为
，
且有
。
（4）已知，
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先作非退化线性替换
，
则

，
再作非退化线性替换
，
则

，
再令
，
则原二次型的标准形为
，
且非退化线性替换为
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，
相应的替换矩阵为
，
且有
。
（5）已知，
先作非退化线性替换
，
则

，
再作非退化线性替换
，
即
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，
则原二次型的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
相应的替换矩阵为
，
且有
。
（6）已知
，
由配方法可得

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，
于是可令
，
则原二次型的标准形为
，
且非退化线性替换为
，
故替换矩阵为
，
且有
。
（7）已知，
由配方法可得

，
于是可令
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