实对称矩阵的相似对角化.ppt

文档介绍：实对称矩阵的相似对角化
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一、对称矩阵的特征值和特征向量
希望找
使
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关键：求 A的 n个标准正交的特征向量。
定理 实对称矩阵的特征值都是实数。
定理 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量
是正交的。
证明 A，实对阵矩阵；、 ， A的两个不同的
特征值；X、Y， A的分别对应于、的特征向量。则
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于是
又  - ≠ 0 ，所以 ，即
由此得 X与Y正交。
▌
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二、实对称矩阵的相似对角化
定理 设 是n阶实对称矩阵A的任一特征值，
p、q 分别为 的代数重数和几何重数，则 p = q。
推论 实对称矩阵可相似对角化。
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例 已知矩阵
有特征值 1(二重)和 3，对应的特征向量为
容易验证， 是正交向量组。令
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则 是标准正交的特征向量。
令
则 Q是正交矩阵且
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例 已知矩阵
有特征值 2(二重)和 -7，对应的特征向量为
容易验证， 但 与 不
正交。
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对 与 进行Schmidt正交化：
则 与 也是A对应特征值2的特征向量。这样，
(= )是两两正交的特征向量。
再令
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则 是标准正交的特征向量。
令
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