文档介绍：数值分析考试题
一、填空题（每小题3分，共15分）
已知x=62. 1341是由准确数a经四舍五入得到的a的近似值，试给出x的绝对
误差界 .
「1 2_
已知矩阵4= ,则A的奇异值为 ・
2 1
设兀和丿的相对误差均为0. 001,则与的相对误差约为 .
若^则） = 5x4 + x2-3,x£ i, A4/（xi） = ・
下面Matlab程序所描述的数学表达式为 .
a= ［10,3,4,6］;t=l/（x-1 ）;n=length（a）
y =d（〃）；
for A: = n -1: -1:1
y = t^ y + a（k）;
end
二、（io分）设/（x） = （x3 -a）2»
（i）写出解/（x） = 0的Newton迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。
（15分）已知矛盾方程组Ax=b,其中，A =
（1） 用Householder方法求矩阵A的正交分解，即A=QR。
（2） 用此正交分解求矛盾方程组AxT的最小二乘解。
x = 0 1 2 3 4
四、（15分）给出数据点：i 1 '
必=3 9 6 12 15
（1）用Xj,X2,X3,X4构造三次Newton插值多项式Ng，并计算X = ^（）.
（2）用事后误差估计方法估计2V3（）的误差。
五、（15分）
（1）设｛eo（X）,0i（X）,02（X）｝是定义于［-1，1］上关于权函数p（x） = X2的首项系数为1的正交多项式组，若已知 0（）（X）= 1,0（X）= X,试求出 ©（X）。
（2）利用正交多项式组｛%（X）,01（X）,02（X）｝，求/（x） = |x|在［一丄，丄］上的二次最佳平方逼近多项式。
Ji
为插值节点的一次插值多项式,
六、（15 分）设片（X）是/（X）的以（1一二一）,（1 +
试由P^x）导出求积分7= £ f（x）dx的一个插值型求积公式，并推导此求积公式
的截断误差。
七、（15分）已知求解线性方程组Ax蛹的分量迭代格式
x,e =屮+许勺-£坷产尸）,z =l,2,
Uii J=1
（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵'（2）证明当"是严格对角占优阵'“一㊁时此迭代格式收敛。
数值分析答案
填空题（每小题3分，1分产的
2. （Tj = 3, <T2 = 1 3.
4. 120 5. y = 10 + —
二、（io分）解：（1）因/（x） = （x3-a）2,故/ （x） = 6x2（x3-a）o
f （兀）
由 Newton 迭代公式：xk . = xk :一 ， k = 0,1,2<--
/（心
_ （X] 一 a）~ _5 , U
畑F厂顾RT产+晴'"°丄2,…
（2）上述迭代格式对应的迭代函数为0（兀）=$兀+ ,于是0（兀）=$ — 3兀3
XX* =a/a ,则有＜p\x*） = ---（y/a）~3 =--丄=丄＜1且工0,故此迭代格式是线性收敛的。
6 3 6 3 2
(1)X = (-2,1,2)r,j=(3,0,0)r,« = x-j = (-5,1,2)r
T
1
'25
-5
-10
-10
5
10_
H=I-2