文档介绍：A?中，对每一点 z = (x,y),令 |忖I】 =|x| + |y| , ||z||0 = ^x2 + y2 , ||z||3=max(|x|,|y|), ||z||4 = (x4 +/)"
求证|||左=1,2,3,4)都是疋的范数
画出(^2,|| ||.) (i=l,2,3,4)各空间中的单位球面图形
在A?中取定三点0=(0,0),A = (l,0),B = (0,l),试在上述四种不同范数下求 出三边的长度
解：⑴下证II^Hj =|x| + |y|为范数：
首先，Vz=(x,y)w??2 由绝对值性质知 1^1^ =|x| + |y| >0 ,当x=y=0时=0 其次，V =(x1,y1)e7?2, z2 =(x2,y2)e7?2
加+©|1=卜1+对+卜1+儿|
<卜1| + |对+卜1| +卜2|
<(闻+阴)+(囲+MIH讹+忖
再次，VQwK,Vzw&|Qz|广同灿
下证||z||2 =\]x2 + y2为范数：
首先，Vz = (x,y)e7?2,由根式性质知||z||2 = 7x2 + / >0 当x=y=0时,||z||2=0 其次，V =(x1,y1)e7?2, z2 =(x2,y2) e7?2
Il^i +z2||2 =(xi +x2)2 +(X + 力尸=xj +x； + 滋 + V； +2x1x2+2y1y2
Xi + x； + y： + y； + 2』(叫心+开匕尸
(Jxj + yf + 竝 + 拧)2
所以 ||Z! +Z2||2 = J(*l +*2)2 +(” +儿)2
-(Jxj + y< + Jxj + )2 = ||z』2 + IkL
再次，Vae^,Vze7?2,||az||2=|a|||z||2
下证|灿3 =max(|x|,|y|)为范数：
首先，Vz = (x,y) e 7?2,由绝对值性质知||z||3 = max(|x|,|y|) >0
当 x=y=0 时，|| 却3=0
其次，V =(x1,y1)e 7?2, z2 = (x2, y2) e 7?2
甌 + E |L = max(|xi + 勺 |,悅 + 力 |) Mmax(卜i| +卜2|,悅| + 卜2|)
= maX(|x1|,|y1|) + max(|x2|,|j2|)=||z1||3+||z2||3
再次，vae^,vze7?2,||az||3=|a|||z||3
下证|忖L =(x4 + y4)"为范数：
首先，Vz = (x,y)e7?2,由 4 次根式性质知 ||<||4 = (%4 +/)'> 0
当x=y=0时，||z||4 =0
其次，V z, =(x1,y1)e7?2, z2 =(x2,y2)e7?2
由Minkowski不等式可得
|勺 + z2||4 =[(x1+x2)4+(y1 + y2)4]i<(x14+ x24 )7 + (卯 + y24 )7 = ||^||4 +1|^||4
再次，vae^,vZe7?2,||a4=|a||4
综上：|| J. (z= 1,2,3,4)都是疋的范数
在范数 1, ||4=W+|y| 下计算三边长度如下：|OA| = |1|+|0|=|1|, |OB| = |0|+|1|