数值分析实验报告--实验3--函数逼近与曲线拟合.pdf

文档介绍：数值分析实验三：函数逼近与曲线拟合

数值分析实验三：函数逼近与曲线拟合
1 曲线逼近方法的比较
问题描述
曲线的拟合和插值，是逼近函数的基本方法，每种方法具有各自的特点和特定的适用范
围，实际工作中合理选择方法是重要的。
考虑实验 中的著名问题。下面的 MATLAB 程序给出了该函数的二次和三次拟合多
项式。
x=-1::1;
y=1./(1+25*x.*x);
xx=-1::1;
p2=polyfit(x,y,2);
yy=polyval(p2,xx);
plot(x,y,’o’,xx,yy);
xlabel(‘x’);
ylabel(‘y’);
hold on;
p3=polyfit(x,y,3);
yy=polyval(p3,xx);
plot(x,y,’o’,xx,yy);
hold off;
实验要求：
(1) 将拟合的结果与拉格朗日插值及样条插值的结果比较。
(2) 归纳总结数值实验结果，试定性地说明函数逼近各种方法的适用范围，及实际应用
中选择方法应注意的问题。
算法设计
对于曲线拟合，这里主要使用了多项式拟合，使用 Matlab 的 polyfit 函数，可以根据需
要选用不同的拟合次数。然后将拟合的结果和插值法进行比较即可。本实验的算法比较简单，
此处不再详述，可以参见给出的 Matlab 脚本文件。
实验结果
多项式拟合
多项式拟合函数 polyfit 和拟合次数 N 的关系
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数值分析实验三：函数逼近与曲线拟合

首先使用 polyfit 函数对 f(x)进行拟合。为了便于和实验 相比较，这里采取相同的参
数，即将拟合区间[-1,1]等分为 10 段，使用每一段区间端点作为拟合的数据点。分别画出拟
合多项式的次数 N=2、3、4、6、8、10 时，f(x)和多项式函数的图像，如图 1 所示。Matlab
脚本文件为 。

Figure 1 多项式拟合与拟合次数 N 的关系
可以看出，拟合次数 N=2 和 3 时，拟合效果很差。增大拟合次数，N=4、6、8 时，拟
合效果有明显提高，但是 N 太大时，在区间两端附近会出现和高次拉格朗日插值函数类似
的龙格现象。所以，对于多项式插值来说，适当地选择插值次数，对于插值结果的准确度至
关重要。通常，在使用多项式拟合处理科学实验得到的数据时，我们需要通过理论分析和推
导，事先确定拟合的次数，这样会大大提高拟合的准确度和效率。
多项式拟合与插值法比较
取多项式拟合的次数 N=10，朗格朗日插值和样条函数插值区间个数也都为 10。画出对
于函数 f(x)，三者的结果如图 2 所示。Matlab 脚本文件为 。
可以看出拉格朗日插值和多项式拟合近乎完全重合，二者在区间端点附近都存在龙格现
象。而样条函数插值逼近原函数的效果较好。
函数逼近方法总结
函数逼近的数值方法包括插值和拟合。插值法经过数据点，而拟合方法通常不会经过所
有的数据点。在处理