文档介绍：考研数学2013高分必看:各种题型经典归类总结空间曲面的表面积的题型与解法
一、计算曲面面积的系统解题方法
如果曲面由显示函数给出
如果曲面有参数函数给出
考研数学2013高分必看:各种题型经典归类总结(考试点)
特别地:
●对于球面坐标系
若所求曲面由极坐标方程决定,则引入球体坐标系
。
设为柱面上介于曲线弧和之间的曲面片,且
又设柱面在平面的准线的方程可写成如下参数式
二、曲面面积的题型与解法
【例1】求包括在圆柱面之内的曲面的侧面面积。
解:对于曲面,
圆柱面
【例2】柱面被锥面割下部分的曲面面积。
解:
由于对称性,本题所求锥面所围的柱面面积为第一象限的4倍,
对于右半平面,柱面方程为,故有(在平面投影,不能在平面投影)
所以所求的曲面面积为
另外,还可以求出柱面围的锥面面积如下:
由于对称性,所求锥面面积为上半平面的2倍,
对于上半平面,锥面方程为,故有(在平面投影)
所以所求的曲面面积为
【例3】求曲面被平面切除的那部分的面积。
解:对于准线平行于平面的柱面,不能在平面上投影,因为投影面积为零,故需要转化到其他坐标平面上如的投影。
【例4】求螺旋面的侧面面积。
解:因为
【例5】计算空间曲线所包围的面积。
解:
引入球体坐标系
【例6】求柱面被球面割下部分的曲面面积。
解:按照第一类曲线积分解法如下
【例7】求以极坐标曲线为准线,母线平行于轴的柱面被平面
及截下的有限部分的面积。
解:对于本题,就可以按照第一类曲线积分解法如下
考研数学中向量组相关性的8大必须掌握的系统定理及其证明
定理 1 一般称为的部分组,如果一个向量组线性无关,则其部分组必无关;如果部分组相关,则向量组必相关。但如果向量组相关,则部分组可能相关也可能无关,同理,部分组无关,则向量组可能无关也可能相关。
证明:
记
形象记忆法:大无小无,小关大关。(部分相关全部相关;全部无关部分相关。)
评注对此类定理的掌握不能只局限于理论证明,更重要的是需要找到直观解析或几何图案。上述定理从坐标空间的维度很容易直观理解。
定理 2 个维向量向量组成的向量组,如果坐标维数小于向量维数时一定线性相关。特别地:个维向量一定线性相关。
证明:个维向量构成矩阵
上述定理可以这样形象理解:相当于方程组中有多余一个合理方程。或者可以这样理解:单个向量的维数相当于坐标空间的维度,向量组的维数(即向量组所含单个向量的个数)相当于任意矢量的分量个数,如果具有三个分量,它又怎能在2维空间中表示呢,除非三个分量不独立,即线性相关。
形象记忆法:坐标数大于维数总相关。(坐标数指单个向量的维数)
定理3 设维向量组,为维坐标;维向量组
为增加的坐标维数得到的(称为导出组或延伸组),即,则
(1)无关导出组无关;
(2)导出组相关相关。
形象记忆法:高维相关低维相关;低维无关高维无关。
定理4 设,则元齐次方程的解空间的秩为。
定理5 若,当为非零矩阵时不可逆;当为非零矩阵时,则列不满秩,
行不满秩。
定理6 向量组能由向量组线性表示, 若不能由线性表示,则。
证明:向量组能由向量组线性表示,则矩阵方程有解
向量组不能由向量组线性表示,则矩阵方程无解
若,则方程有解,成立意味,与条件矛盾。
故。
定理7 若,当为列满矩阵时,则。
证明:设,依题意,,知的标准型为,并有:
阶可逆矩阵,使
定理8 若,则的列向量线性无关。
证明:考虑,则
为的解。
故只有零解,故的列向量线性无关。
评注
第一,对向量组相关性的理解,首先把向量组转化为对应矩阵,因为秩是它们的公共量,从而等价于讨论矩阵的秩。
第二,要明白秩是用子式(方阵)是否为零来定义的,所以矩阵的秩等于矩阵的行秩也等于列秩,要明白单个向量的维数(坐标空间的维度)和向量组的维数(任意矢量的分量个数)是两个不同的概念。给矩阵增加几行后得矩阵,就相当于增加每一个向量的维数,这时满秩=,就是说无关无关;但反之不成立,因为;如果,就是相关相关,反之也不成立,也是因为。
第19专题讲座---二重积分的系统题型与题法2009
一、二重积分的六大对称性
如果积分区域具有轴或点对称(令表示的一半区域,即中对应部分,余类推),被积函数同时具有奇偶性,那么,二重积分的计算可以得到不同程度的简化,这一技巧在研考数学中每年都必出题,务必理解记住下列6类对称性定理。
关于轴对称(关于轴对称类推)
②关于都对称
③关于原点对称
④当和关于某一直线对称,对同一被积函数,则
⑤关于