文档介绍：实验报告
实验名称矩阵连乘问题
课程名称计算机算法设计与分析
专业班级：学生姓名：
学号：成绩：
指导老师：实验日期：
实验内容
矩阵连乘问题，给定n个矩阵{A1,A2,…,An}，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,3…,n-1。考察这n个矩阵的连乘A1,A2,…,An。
实验基本思想
由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。设计求解矩阵连乘问题的动态规划算法的第1步是刻画该问题的最优解的结构特征。为方便起见，将矩阵连乘积简记为A[i:j]。考察计算A[1:n]的最优计算次序。设这个计算次序矩阵在Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，,则其相应的完全加括号方式为((A1…Ak)(Ak+1…An))。依此次序，先计算A[1:k]和A[k+1:n],然后将计算结果相乘得到A[1:n]。
算法设计
分析最优解的结构
设计求解具体问题的动态规划算法的第1步是刻画该问题的最优解的结构特征。为方便起见，将矩阵连乘积简记为A[i:j]。考察计算A[1:n]的最优计算次序。设这个计算次序矩阵在A
k和Ak+1之间将矩阵链断开，,则其相应的完全加括号方式为((A1…Ak)(Ak+1…An))。依此次序，先计算A[1:k]和A[k+1:n],然后将计算结果相乘得到A[1:n]。
建立递归关系
设计动态规划算法的第二步是递归定义最优值。对于矩阵连乘积的最优计算次序问题，设计算A[i:j]，，所需的最少数乘次数为m[i][j]，原问题的最优值为m[1][n]。
当i=j时，A[i:j]=Ai为单一矩阵，无需计算，因此m[i][i]=0，i=1,2,…n。当i<j时，可利用最优子结构性质来计算m[i][j]。m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。由于在计算时并不知道断开点k的位置，所以k还未定。
计算最优值
根据计算m[i][j]的递归式，容易写一个递归算法计算m[1][n]。动态规划法解决此问题，可依据递归式以自底向上的方式进行计算，在计算过程中保存已解决的子问题答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法matrixChain如下：
void matrixChain(){
for(int i=1;i<=n;i++)m[i][i]=0;
for(int r=2;r<=n;r++)//r表示矩阵连乘中的矩阵个数
for(int i=1;i<=n-r+1;i++){
int j=r+i-1;//列的控制
//找m[i][j]的最小值，先初始化一下，令k=i
m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
s[i][j]=i;
//k从i+1到j-1循环找m[i][j]的最小值
for(int k = i+1;k<j;k++){
int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(t<m[i][j]