文档介绍：复变函数总结
复变函数总结
第一章复数的运算与复平面上的拓扑
复数的定义
一对有序实数（x,y ）构成复数zxiy,其中xRez, , X称为复数的实
部， y 称为复数的虚部。复数的表示方法 1）模：
zx2y2；
2）幅角：在 z0 时，矢量与 x 轴正向的夹角，记为是位于 （,] 中的幅角。
argzArgz （多值函数）；主值
argz 与
arctanyx 之间的关系如下：
yx；
当 x0,
argzarctany0,argzarctanx0,y0,argzarctan 当 yxyx
4）三角表示： zzcosisin ，其中 argz ；注：中间一定是“ +” 5）指数表示：
复数的四则运算
. 加减法：若 z1x1iy1,z2x2iy2 ，则 z1z2x1x2iy1y22 ） . 乘除法：
3）若 z1x1iy1,z2x2iy2 ，则
z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2zzei ，其中 argz
；。
z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y4 ）若
z1z1ei1,z2z2ei2, 则
z1z2z1z2ei12 ；
z1i12z1ez2z2
5. 无穷远点得扩充与扩充复平面
平平面对内任一点z,用直线将z与N相连，与球面相交于P点，则球面上除N 点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系 ,
而 N 点本身可代表无穷远点 , 记作 . 这样的球面称作复球面这样的球面称作复球 面.
扩充复平面---引进一个“理想点”：无穷远点8复平面的开集与闭集
复平面中领域，内点，外点，边界点，聚点，闭集等概念复数序列的极限和复
数域的完备性复数的极限，，柯西收敛定理，魏尔斯特拉斯定理，聚点定理等从实
数域里的推广，可以结合实数域中的形式来理解。
第二章复变量函数
1. 复变量函数的定义
，按这个法则，对于集 合G中的每一个复数z,就有一个或几个复数 wuiv与之对应，那末称复变数w是复 变数 z 的函数 ( 简称复变函数 ), 记作 wf(z).
1)复变函数的反演变换(了解) 2)复变函数性质
反函数有界性周期性， 3)极限与连续性极限：
设函数 wf(z) 定义在 z0 的去心邻域
连续性
0zz0 内 , 如果有一确定的数 A 存在 , 对于任意给定的 0, 相应地必有一正数 () 使
得当0zz0(0)时，有f(z)A那末称A为f(z)当z趋向于z0时的极限.
如果 limf(z)f(z0), 那末我们就说 f(z)zz0 在 z0 处连续 . 如果 f(z) 在区域 D 内 处处连续
, 我们说 f(z) 在 D 内连续 .2. 复变量函数的形式偏导
1)复初等函数 ezexcosyisinye2) 指数函数：，在 z 平面处处可导，处处解
析；且注： e 是以 2i 为周期的周期函数。(注意与实函数不同) 3) 对数函数：主 值：
zzez。
Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2) (多值函数)；
。(单值函数)
lnzlnziargzLnz 的每一个主值分支 lnz 在除去原点及负实轴的 z 平面内处处 解析，且
lnz1z ；
注：负复数也有对数存在。(与实函数不同)
乘幂与幂函数：
abebLna(a0) ； zbebLnz(z0)
bb1 注：在除去原点及负实轴的 z 平面内处处解析，且
zbz。
eizeizeizeiz5) 三角函数：
sinz2i,cosz2,tgzsinzcosz,ctgzcoszsinzsinz,cosz 在 z 平面内解析，且 sinzcosz,coszsinz
注：有界性
sinz1,cosz1 不再成立；(与实函数不同)
ezezezez6) 双曲函数
shz2,chz2 ; shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析 shzchz,chzshz
第三章解析函数的定义
. 复变量函数的导数
设函数 wf(z) 定义于区域 D,z0 为 D 中的一
点, 点 z0z 不出 D 的范围 ,f(z0z)f(z0)
如果极限 limz0z 存在 ,
那末就称 f(z) 在 z0 可导 . 这个极限值称为 f(z) 在 z0 的导数 , 复变量函数的解
析性
如果函数 f(z) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可导 , 那末称 f(z) 在 z0 解析 . 如果函数 f(z) 在区域 D 内每一点解析 , 则称
f(z)(