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立体几何知识点&例题讲解
、知识点
＜一＞常用结论
.证明直线与直线的平行的思考途径： （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线
平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.
.证明直线与平面的平行的思考途径： （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行；（3）转化为面
面平行.
.证明平面与平面平行的思考途径： （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行；（3）转化为线面
垂直.
.证明直线与直线的垂直的思考途径： （1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的
射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直 .
.证明直线与平面垂直的思考途径： （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相
交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转
化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 ^
.证明平面与平面的垂直的思考途径： （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.
.夹角公式:设a=（4但自）,b= （hbh）,则
.异面直线所成角:
（其中 （0°
r r
cos | cos 1: a,b ；■ | = ra br| |a| |b|
90°）为异面直线a,b所成角, uuu LT
cos〈a, b> = —
,a2
aQ a2b2 a3b3
|X|X2 yj2 Z1Z2 |
222 2
,x1 y1 z1 , x2
r r
2 2
y2 z2
a,b分别表示异面直线 a,b的方向向量）
.直线AB与平面所成角:
arc sin UAB mr （m 为平面 的法向量）. |AB||m|
10、
空间四点A、B、C、P共面
OP
xOA
11二
二面角 l 的平面角
ut r
IT
r
m n
m
n
arc cos -uf-或 arc cos-lf-
yOB zOC ,且 x + y + z = 1 it r
m , n为平面， 的法向量）
|m||n| |m||n|
：设 AC是a内的任一条直线，且
BCXAC,垂足为C,又设AO与AB所成的角为
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cos 1 cos 2 .
:
：
r2 r2 r2 r
a b c 21 a |
r
（n为平面
的法向量，AB是经过面 的一条斜线， A
r 2 r2 r2 r r
a b c 2ab
r r ,r
2|b| |c| cos,b,c:
r r r r
2b c 2c a r r r r
2 | c | | a | cos:. c,a
2 2 2 2 2 2 2
l 11 l2 l3 cos 1 cos 2 cos 3 1
. 2
sin 1
I1、I2、I3,夹角分别为
,2 . 2 -
sin 2 sin 3 2.
1、
3,则有
AC所成的角为2 , AO与AC所成的角为 .则cos
.空间两点间的距离公式 若A（X1,y1，Z1）, B（X2, y2, Z2）,则
UUL ，UUL UUT 2 2 2
dA,B = | AB| 、AB AB -（X2 X1） （y2 y）匕乙）.
UUIT UT
r
.异面直线间的距离： d |C1 n| （11,12是两异面直线，其公垂向量为n, C、D分别是11,12上任一点，d
|n|
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为ll,l2间的距离）.
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（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）
S
.面积射影定理 S .（平面多边形及其射影的面积分别是 S、S ,它们所在平面所成锐二面角的 ）.
cos
.球的组合体（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 .（2）球与正方体的组合
体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长 ，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长 ，正方体的外接
球的直径是正方体的体对角线长 .（3）球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为
吏a,外接球的半径为 一6a. 12 4
.求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）
.求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法） 〈二〉提示：
Z
『 花 元
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