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第四章 大数定律与中心极限定理<br****题4・1
“厶X,且X”厶丫・试证：P{X=Y} = \.
证：因 |x-n = i-（xn-x）+（xn-r）i<ixn-xi + ix„-n，对任意的co,有
0<P{\X-Y\>s}<ph Xn-X|>|
又因 x厶 x,且 x“厶 y,有徑抡 p{|x“-x|nf}=o, lhn p||x„-r|^y|=o,
则P{\x-ri>^} = o,取r=i,有pj|x-r|>
1
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•=o,即pj|x-y|<ll=
故 P{x = y}=pjq||
|x」|v寸广聖/ixr|
*->4C0
X〃->X, Ytt^Y .试证:
（1）
2）
证：(1)
x 必 T XY •
因 1（乙+y”）-（x+y）i = i（x”-x）+（y”-y）iax”-x| + |y”-y|,对任意的co,有
o<p{|（x„ + K,）-（x + r）|>r}<p||xn-x|^||+p||K,-r|^||,
p p I
又因 x”tx, y“—y ,有 liin p\\xn-x\>-\=o. iimp{|y”-y|n£>=o,
n->-Ko
（2）
故limp{\（xn + 丫”）一（x + r）|>^}=o,即xit +）;4x + r：
w->-Ko
因\XnYn-XY\ = \（Xn-X）YH + X（Yn- r）|<|X-X|-|r„| + |X| IK, - n，对任意的CO,有
o<p{|xx-^|>^}<p||xM-x|.|y;|>4+p||x|.|}；-y|>4,
对任意的h>0,存在Mi>0,使得P{|X|nMJv',存在如>0,使得P{\Y\>M.}<-,
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存在M>o,当刃〉M时，P{|r/r-r|>i}<-,
因咲心小宀比胡+必有p仇屮+i}现一小1}+{|畑也}岭,
存在M>0,当n>N2时，p{|X“-X|n諾莉
一，当 ii > max{Nlt N2}时，冇 4
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IX
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取-XI•出I号P”一小丽窃｝+叽出+1｝令卅, 存在”3>0,当n>N3时，pf|rH-y|>—1<-,有
2MJ 4
p{m.|xinfpp{imn£}+p{|xinMjv£+X，
则对任意的h> > max｛^b N2f N3｝时，有
owP{|x”—xyE}sp{x-x|.|h|nf}+p{|x|M-y|nf}v
故 lim P{\ XnYn — XY | A £}= 0 ,即 XtlYn t XY .
刃T«o
如果X“厶X,g(x)是直线上的连续函数，试证：g(XJ厶g(X)・
证：对任意的h>09存在M〉0,使得P{\X\>M}<-9
4
存在M>〉M时，P{|xn-x|>i}<->
4
因 |X“| = |(X”-X) + X|«|X”-X| + |X|,
则 P{\Xn\>M+l}<P{\Xn-X\>l}^P{\X\>M}<^^^
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因g®是直线上的连续函数,有g(x)在闭区间［-(M+1),M+1］上连续，必一致连续， 对任意的CO,存在CO,当\x-y\<S时,有|ga)-g(y)|V£,
存在皿>0,当 n>N2 时，P{\X-X\>6}<-t
4
则対任意的力>0,当H>max{M,M}时，有
0"{|g(X”)-g(X)|X}"{{| X„-X|>J}U{|X„|>M+1}U{|X|>A/}}
SP{| x”-x|"}+P{|x”|nM+i}+P{|X|nM}v£+£+R,
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故 UmP{|g(X”)一g(X)|注0 ,即g(X”)厶g(X) •
如果X厶q,则对任意常数c,有cXn ^ca・
证：当 c = 0 时，自 cX” = O, ca = O,显然 cXn -^ca :
当ch0时，对任意的£>0,
勺空卩|X “
n->4<o
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即 cXn ->c« •
故 lim P{|cXn -ca\^s}= 0 *
5-雄心綁充耍条件为：” T+诃“
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IX
5
证：-x的密度两数为
必耍性：设XqX,对任意的CO,都有limP｛| Xn-X\>s｝=Q9
对厶 >0,存在 N〉5 当”〉N 时，P{\ Xn-X\^e}<^—
1+ w 1+ r
则£
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故n —>+
TO：
允分性：设"T+、
「|X〃-X|、 h+I