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线性代数考试复习提纲、知识点、例题
一、行列式的计算（重点考四阶行列式）
1、利用行列式的性质化成三角行列式
行列式的性质可概括为五条性质、 四条推论，即七种变形手段 （转
置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为 0【两行（列）
相同、成比例、一行（列）全为 0】
2、行列式按行（列）展开定理降阶
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘
积之和，即 D
ai1 Ai 1
ai 2 Ai 2
...
ain Ain
i
1,
2 , ...n ,
D
a1i A 1i
a i2A i 2
...
ani Ani
i
1,
2 , ...n ,
2
2
4
0
例 1、计算行列式 4
1
3
5
3
1
2
3
2
0
5
1
二、解矩阵方程
矩阵方程的标准形式： AX B X A B A X B C
若系数矩阵可逆，则 X A 1B X B A1 X A 1CB 1 切记不能写成 X A1B1C或X C
AB
求逆矩阵的方法：
1、待定系数法 AB E(或 BA E)
2、伴随矩阵法 A 1 1 A
A
其中 A 叫做 A 的伴随矩阵，它是 A 的每一行的元素的代数余
子式排在相同序数的列上的矩阵。
.
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A11
A21
...
An1
A12
A22
...
An2
A
... ... ... ...
A1n
A2n
...
Ann
3、初等变换法
A
E
初等行变换
E
A 1
例 2、解矩阵方程 3
1
X
5
6
14
16
5
2
7
8
9
10
0
1
0
1
1
例 3、解矩阵方程
X
AX
B
，其中A1
1
1
B 2
0
1
0
1
5
3
三、解齐次或非齐次线性方程组
设 A aij ， n 元齐次线性方程组 AX 0 有非零解 r ( A) n
m n
n 元齐次线性方程组 AX 0 只有零解 r ( A) n 。
当 m n 时， n 元齐次线性方程组 AX 0 只有零解 A 0 。
当 m n 时， n 元齐次线性方程组 AX 0 有非零解 A 0 。
当 m n 时，齐次线性方程组一定有非零解。定义：设齐次线性方程组 AX 0 的解 1 ,..., t 满足：
（1） 1 ,...,