文档介绍：1 1第七章第七章多项式多项式有限域有限域 2 2§ § 域的特征域的特征素域素域?? 域的特征域的特征?? 素域素域 3 3§ § 域的特征域的特征??设设F F是一个域, 是一个域, e e是是F F的壹,作映射: 的壹,作映射: σσ: :n n→→ ne ne , ,n n??I I。则: 。则: 1) 1)σσ是整数环是整数环 I I到到F F内的映射。内的映射。 因为 因为 e e??F F, ,所以所以 ne ne ??F F,故,故σσ(I (I) )??F F。。 2) 2)σσ是整数环是整数环 I I到到F F内的同态映射。内的同态映射。因为: 因为: σσ(m+n)=(m+n)e=me+ne= (m+n)=(m+n)e=me+ne= σσ(m (m )+ )+σσ(n) (n) , , σσ(mn (mn )=( )=( mn mn )e=(me)( )e=(me)( ne ne )= )=σσ(m) (m) σσ(n) (n) 。。 4 4 ??设设N N是是σσ的核的核,则,则 N N是是I I的理想。的理想。从加法角度看从加法角度看 N N是是I I 的子群,而的子群,而 I I 在加法下是在加法下是循环群,由循环群的子群是循环群知, 循环群,由循环群的子群是循环群知, N N是是由某一元素生成的,设为由某一元素生成的,设为 p p, ,则则 N= N= {np|n {np|n ?? I}= I}= pI pI ??可设可设 p p≥≥0 0, ,p p称为称为 F F的的特征特征。。??由由N N是是σσ的核知,对的核知,对??n n??N N, ,σσ(n)=0 (n)=0 F F。。特别特别地, 地, p p?? pI=N pI=N ,故,故σσ(p)=pe=0 (p)=pe=0 F F。。??设设n n为乘法单位元为乘法单位元 e e在加法下的周期。下面在加法下的周期。下面证明证明 n=p n=p ,即,即 p p是乘法单位元是乘法单位元 e e在加法下的在加法下的周期周期。。§ § 域的特征域的特征 5 5 1) 1)当当 p=0 p=0 时, 时, N=pI={ N=pI={ 0} 0}。。故故σσ(n)=ne= (n)=ne= 0 0 F F iff iff n n?? N N iff iff n=0=p n=0=p 。。即即, ,e e在在F F的加法群里面的周期是的加法群里面的周期是∞∞。。 2) 2)当当 p>0 p>0 时, 时, σσ(n)=ne= (n)=ne= 0 0 F F iff iff n n??N N iff iff n=pk n=pk , ,k k??I I iff iff p|n p|n 再由再由σσ(p (p )=pe=0 )=pe=0 F F,知,知 n|p n|p 。。因此, 因此, n=p n=p 。。这就是说, 这就是说, e e在在F F 的加法群里的加法群里面的周期是面的周期是 p p。。§ § 域的特征域的特征 6 6 ??域域F F的特征的特征 p p或等于或等于 0 0或是一个质数或是一个质数。。??证明: 证明: 只需证若只需证若 F F 的特征的特征 p p≠≠0 0 ,则,则 p p 一定为一定为质数。质数。用反证法。设用反证法。设 p p不是质数,则不是质数,则 p=hk p=hk , , 1<h<p 1<h<p , , 1<k<p 1<k<p 因此, 因此, pe=(hk)e=( pe=(hk)e=( he)( he)( ke) ke) 。而。而 pe= pe= 0 0 F F。。因为域中无零因子,所以或因为域中无零因子,所以或 he= he= 0 0 F F或或 ke= ke= 0 0 F F, , 但这和但这和 e e的周期为的周期为 p p矛盾。矛盾。??由域是消去环,而消去环中所有不为由域是消去环,而消去环中所有不为 0 0 的元的元素在加法下的周期相同,且或为素在加法下的周期相同,且或为 0 0或为质数。或为质数。定理定理 7 7§ § 素域素域??定理定理 设设p p 为质数或等于为质数或等于 0 0, , 特征为特征为 p p的的任意域任意域 F F包含包含 R R P P为其最小子域。为其最小子域。??证明: 证明: 设设e e是是F F的壹,作映射的壹,作映射σσ同前: 同前: σσ: :n n→→ n