文档介绍：足球队排名次问题摘要本文利用层次分析法和 Pagerank 模型相结合建立了解决排名问题的数学模型。用层次分析法进行分析时,根据问题中各因素的因果关系将其分为三层,即目标层、准则层和方案层。由准则层与目标层、方案层与准则层、准则层与目标层之间的关系,分别建立建立准则层对目标层、方案层对准则层、准则层对目标层的判断矩阵,并对判断矩阵的一致性进行检验,得出的一致性指标 10 .0< CI , 可靠度较高。我们可以综合考虑各队的比赛成绩为每支球队计算相应的权重后,考虑给定球队所战胜和战平的球队的数量以及被战胜或战平的球队的实力,具体来说,确定某支的等级分的依据应为:一是看它战胜和战平了多少支球队;二是要看它所战胜或战平球队的等级分的高低。三是考虑即强队因为不确定因素输掉给任意一支球队的概率。这三条就是我们确定排名的基本原理。因此,得出 12支球队的排名结果如下: 表格 1 12 支球队排名结果 d 取值范围球队排名 d =1 3T , 7T , 1T , 2T , 10T , 8T , 9T , 4T , 5T , 12T , 6T , 11T <d < 3T , 7T , 1T , 2T , 10T , 8T , 9T , 4T , 12T , 5T , 6T , 11T < d < 3T , 7T , 1T , 2T , 10T , 9T , 8T , 4T , 12T , 5T , 6T , 11T d = 3T , 7T , 1T , 2T , 8T , 9T , 10T , 4T , 12T , 5T , 11T , 6T 其中 d 是一支球队是否能够正常发挥水平的概率。由于本问题中的比较矩阵均为一致阵,因此可将模型的算法推广到 N 个球队的排名算法中。关键词: 足球队排名层次分析法 Pagerank 模型随机冲浪模型概率一、问题重述本题给出了 12支球队间相互比赛的比分,要求我们设计能依据所给数据给 12只球队排名的算法,并推广到 N个球队,同时给出当我们算法成立时数据所具备的条件。成绩表如下图: 1T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T 10T 11T 12T 1T X 0:1 1:0 0:0 2:2 1:0 0:2 2:0 3:1 1:0 3:1 1:0 0:1 1:3 0:2 2:1 1:0 4:0 1:1 1:1 XX 2T X 2:0 0:1 1:3 0:0 2:0 0:0 1:1 2:1 1:1 1:1 0:0 0:0 2:0 1:1 0:2 0:0 XX 3T X 4:2 1:1 0:0 2:1 3:0 1:0 1:4 0:1 3:1 1:0 2:3 0:1 2:0 XX 4T X 2:3 0:1 0:5 2:3 2:1 1:3 0:1 0:0 0:1 1:1 XX 5T X 0:1 XXXX 1:0 1:2 0:0 1:1 6T XXXXXXX 7T X 1:0 2:0 0:0 2:1 3:0 1:0 3:1 3:0 2:2 3:1 2:0 8T X 0:1 1:2 2:0 1:1 1:0 0:1 3:1 0:0 9T X 3:0 1:0 0:0 1:0 1:0 10T X 1:0 2:0 11T X 1:1 1:2 1:1 12T X 说明:(1)12支球队依次记作 T1,T2, … T12 。(2)符号 X表示两队未曾比赛。(3)数字表示两队比赛结果,如 T3 行与 T8 行交叉处的数字表示: T3 与 T8 比赛了 2场; T3 与 T8 的进球数之比为 0:1和3:1。二、符号说明 O 层次模型中的目标层 1C 准则层中场均积分 2C 准则层中场均净胜球数 3C 推测层中场均进球数)12 ,,2,1=(? iP i方案层中的 12支球队 A 准则层对目标层的判断矩阵)3,2,1=(kB k方案层对准则层的比较矩阵 1W 准则层对目标层的权重 2W 方案层对准则层的权重 W 方案层对目标层的组合权重三、模型假设(1) 假设表格中的数据时真是可靠的; (2) 假设净胜球对实力的影响小于胜负影响,即优先比较胜负关系。若胜负场次相同即认为实力相差不大,不能说明两队实力情况; (3) 假设大多数时候竞技比赛的结果是两队之间实力的客观反映。四、模型建立与求解问题分析排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队真实实力状况的一个顺序,为达到这一点本文使用等级分来衡量一支球队的实力水平,并重点考虑以下几个因素。等级分的确定条件一:积分,净胜球数和进球数通常,在足球循环比赛中,采用三分制,积分高的队排名靠前,当积分相同时净胜球多的队排名靠前,若净胜球也相同则按照进球数量排名,如果进球数也相同则比较两队直接对决时的胜负关系,要是胜负关系也相同则比较两队对