文档介绍：数学分析(二)试卷9
一、 叙述题：(每小题5分，共15分)
1、 定积分
2、 连通集
3、 函数项级数的一致连续性
二、 计算题：(每小题7分，共35分)
1、
J sin(ln x)dx
2、 求三叶玫瑰线r = a sin 36* 0 e ［0,^］围成的面积
3、 求x„ cos—的上下极限
2/7 + 1 5
4、 求幕级数的和
n=\ 2"
5、u = /(x,y)为可微函数，求(—)2+(—)2在极坐标下的表达式 dx dy
三、讨论与验证题：(每小题10分，共30分)
已知/(兀,刃=<
z 7 2 \ • 1 丄
(兀 + 尹)sin —cos —
x y
lim
(x,y)—>(0,0)
limlim/(x, v),limlim/(x,y)是否存在？为什么？ xtO y—>0 jvtO x->0
f
oo 1
十严的敛散性。
3、讨论fn (x) = x e ［0,1］的一致收敛性。
\ + n + x
四、证明题：(每小题10分，共20分)
1、 设/(%)在［a,+8)上单调增加的连续函数，/(0) = 0,记它的反函数厂 0),证 明］/(x)dx + (厂(V)创 A ab (« > 0,6 > 0)
00 00
2、 设正项级数工兀〃收敛，证明级数工兀：也收敛
”=1 «=1
参考答案
、1、设有定数/, V£〉〉0,使得对任意的分法
a =兀。V兀1 V・・・V兀n=b和任意的点g [?xz],只要2 = max(Axz) < 8 ,成立
l<i<n
工/e）Ax, - / <£
Z=1
2、 S的任意两点兀，尹之间，都存在S中的一条道路厂，则称S为连通集
3、 Ve〉（g）〉0,使得 Vm >n> N,成立 0曲+%2 +…加| < £
二、1、sin(ln x)dx = x sin In x 1^ - cos(ln x)dx = esinl-e cos 1 +1 - sin(ln x)dx (5 分)sin(lnx)dx =-^(esinl-ecos 1 + 1) (2 分)
2 TV 2
2、
由对称性知，所求的面积为：6x舒sin囲"牛（7分）
3、
I
解：上极限为。.5,下极限为严sg （7分）
4、
解：lim„
"TOO I,
+ , r=2 (3 分)
收敛域为（-3, 1）,级数的和为」一
1 —兀
(4 分),
5、解：设极坐标方程为
="' cos & + Uy sm0- = -r sin 如 +rcos 0uy
兀=尸cos0,y = rsinO
1 ,du
d兀
(5分)(驴+(譽比(譽尸+£欝)2 (2分)
ox oy or r cU
三、1、解、由于singosl有界，宀才为无穷小，爲虬严,沪0 &分）
limlim(x2 +y2)sin —cos — = lim(limx2 sin —cos—— limj/2 sin —cos—) , 而
x-^0 y->0 x V XTO 丁->0 X V 丁―。 X V
limx2 sin —cos —极限不存在，limj/2 sin —cos丄极限存在，故整体极限不存