文档介绍：一、对换的定义定义在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换. 将相邻两个元素对调,叫做相邻对换. m lbbbaaa?? 11 例如 ba m lbbabaa?? 11ab bbbaaa??? abbbaa??? 111ba ab 二、对换与排列的奇偶性的关系定理 1一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性. 证明设排列为 mlbbab aa?? 11 对换与ab mlbbba aa?? 11 除外,,a abba 当时, ba? ab 的逆序数不变; 经对换后的逆序数增加 1 , 经对换后的逆序数不变,的逆序数减少 因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性. 设排列为 nmlcbcbab aa??? 111 当时, ba? 次相邻对换 m bb ab aa??? 111次相邻对换 1?m abbbaa??? 111, 111nmlcbcbab aa????次相邻对换 12?m , 111nmlc acb bb aa???所以一个排列中的任意两个元素对换, bbbaaa??? 111abab 推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.?? nppp t naaaD? 21 211???定理 2阶行列式也可定义为 n nppp? 21 证明由定理 1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为 0), ?? n np pp taaaD? 21211????? nppp t naaaD? 211 211???记对于 D中任意一项??,1 2121 n np pp taaa??总有且仅有中的某一项 1D??,1 21 21nqqq s naaa??与之对应并相等;反之, 对于中任意一项 1D??,1 21 21nppp t naaa??也总有且仅有 D中的某一项??,1 2121 n nq qq saaa??与之对应并相等, 于是 D与 1D 中的项可以一一对应并相等, 从而. 1DD?定理 3阶行列式也可定义为 n?? nnqpqpqp taaaD? 22111???其中是两个级排列, 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和. nnqqq,ppp?? 2121nt 例1试判断和 65 56 42 31 23 14aaaaaa 66 25 51 14 43 32aaaaaa? 65 56 42 31 23 14aaaaaa 下标的逆序数为?? 6102210431265 ???????t 所以是六阶行列式中的项. 65 56 42 31 23 14aaaaaa 66 25 51 14 43 32aaaaaa?下标的逆序数为?? 8452316 ?t 所以不是六阶行列式中的项. 66 25 51 14 43 32aaaaaa?例2在六阶行列式中,下列两项各应带什么符号.;)1( 65 14 56 42 31 23aaaaaa.)2( 25 66 51 14 43 32aaaaaa 解 65 14 56 42 31 23)1(aaaaaa 431265 的逆序数为 012201??????t ,6?所以前边应带正号. 65 14 56 42 31 23aaaaaa , 65 56 42 31 23 14aaaaaa?